Качение пластинки по плоскости

[myjobisgop]

Выпуклая пластинка массы $M$ катится без проскальзывания по неподвижной горизонтальной плоскости. В некоторой точке $Q$ пластинки перпендикулярно к ее плоскости прикреплен стержень длины $h$. Другой конец стержня неподвижно закреплен в точке $O$ плоскости, по которой движется пластинка. Движение происходит в поле силы тяжести. Найти положения равновесия пластинки, получить условия их устойчивости и найти частоту малых колебаний пластинки в окрестности устойчивого положения равновесия. За обобщенную координату принять длину дуги $s$, отсчитываемую от некоторой фиксированной точки на границе пластинки до точки $P$ соприкосновения пластинки с плоскостью. Считать, что кривизна кривизна границы в точке $P$ - известная функция $k(s) > 0$. Моменты инерции $J_1, J_2, J_3$ относительно главных центральных осей инерции $G \bar{e}_1, G \bar{e}_2, G \bar{e}_3$ заданы. Ответ выразить через угол $\alpha$, отсчитываемый от направления $\bar{e}_1$ до направления $\bar{e}_{\tau}$ и через координаты точек $Q$ и $G$ в репере Френе $P \bar{e}_{\tau} \bar{e}_{\nu} \bar{e}_{\beta}$ границы пластинки, вычисленные в положении равновесия.



Основная проблема возникла у меня при вычислении потенциальной энергии и положений равновесия. По вычислению кинетической энергии вопросов не возникло.

Чтобы найти положения равновесия, необходимо знать потенциальную энергию $V$ как функцию от обобщенной координаты $s$, и ее критические точки. Устойчивость в этих точках, как известно, зависит от второй производной функции $V(s)$.

Введем ось $Oz$ перпендикулярно плоскости. Начало отсчета по оси $z$ выберем в пересечении её с плоскостью. Тогда потенциальную энергию пластинки можно записать в виде:

$V = -m g z_G = - m g \nu_G \sin \varphi$,

где $\nu_G$ -- проекция вектора $\vec{C G}$ на ось $P\mu$ в репере Френе $P \bar{e}_{\tau} \bar{e}_{\nu} \bar{e}_{\beta}$.

Чтобы найти $\sin \varphi$ рассмотрим треугольник, со сторой $OQ$ (см. картинку), тогда:

$\sin \varphi = \frac{h}{\nu_Q}$,

где $\nu_Q$ - проекция вектора $\vec{C Q}$ на ось $P\mu$ в репере Френе $P \bar{e}_{\tau} \bar{e}_{\nu} \bar{e}_{\beta}$.

В итоге, получим выражение для потенциальной энергии:

$V(s) = - m g h \frac{\nu_G (s)}{\nu_Q (s)}$.

Далее найдем ее критические точки.

$V'(s) = - m g h \frac{\nu_G' (s) \nu_Q (s) + \nu_Q' (s) \nu_G (s)}{\nu_Q ^2 (s)} = 0$.

Правильно ли я понимаю, что положения равновесия - это все те значения $s$, которые удовлетворяют равенству $\nu_G' (s) \nu_Q (s) + \nu_Q' (s) \nu_G (s) = 0$?

Меня немного смущает такой ответ. Можно ли как нибудь явно выразить $\nu_G$, $\nu_Q$ через $s$ или кривизну?

[Oleg Zubelevich]

чем не устраивает решение из методички, из которой вы скопировали картинку?

[myjobisgop]

Эта задача из обычного задачника по теоретической механике и там решения не было. А какую методичку вы имеете ввиду?

[Oleg Zubelevich]

Татаринов, Кулешов, Попова, Прошкин Задачи по кинематике и динамике качения твердых тел. Москва 2011

а вы какой учебник имеете ввиду?