Геометрия (С4)

[StaticZero]

Цитата:

На диагонали параллелограмма отметили точку, не являющуюся серединой. Из неё на все стороны параллелограмма опустили перпендикуляры.
а) Докажите, что образованный основаниями перпендикуляров четырёхугольник - трапеция.
б) Найдите его площадь, если площадь параллелограмма $16$, а один из углов - $\dfrac{\pi}{3}$.

Рисунок:


Моё решение.
а) В пункте а) достаточно показать, что $LM \parallel KN$ и $|LM| \neq |KN|$.
б) Известна формула вычисления площади трапеции через диагонали:

$$S = \dfrac{d_1 d_2 \sin {\alpha}}{2}$$

$\alpha$ - угол между диагоналями.

Очевидно, что, если $\angle{(BAD)} = \varphi$, то $\sin {\angle{(LOM)}} = \sin{\varphi}$.

Имеем $d_1 = |LN| = |AB| \sin{\varphi}$, $d_2 = |KM| = |BC| \sin{\varphi}$

Всё вместе:

$S = \dfrac{|AB|\cdot|BC| \sin{\varphi} \sin{\varphi}}{2} = \dfrac{S_0 \sin \varphi}{2} = \dfrac{16\cdot \sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$
($S_0$ - площадь параллелограмма).

Поясните. пожалуйста, почему не совпадают ответы? Где правильно?

[gris]

А куда девался ещё один синус в формуле площади трапеции уже после подстановки сторон?
А так — всё правильно.

[StaticZero]

Ааа. Это третий синус. Тогда будет
$4\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6$.
Спасибо. По поводу первого пункта ещё вопрос: как узнать, что отрезки параллельны понятно, а как узнать, что они не равны? ($|LM| \neq |NK|$)

[gris]

Если точка $O$ посередине диагоналей, то будут равны. Надо использовать то, что она не посередине. Ну там куча подобных треугольников. А потом нужно же доказать, что в этом случае трапеция не параллелограмм. То есть использовать невыполнение любого свойства параллелограмма. Диагонали, например, делятся ли пополам?

[StaticZero]

gris в сообщении #905530 писал(а):

Если точка $O$ посередине диагоналей, то будут равны. Надо использовать то, что она не посередине. Ну там куча подобных треугольников. А потом нужно же доказать, что в этом случае трапеция не параллелограмм. То есть использовать невыполнение любого признака параллелограмма. Диагонали, например, делятся ли пополам?

Рассмотрим два треугольника $COM$ и $AOK$. Они подобны по двум углам, отсюда имеем $\dfrac{|OM|}{|OK|} = \dfrac{|OC|}{|OA|} \neq 1$.

-- 08.09.2014, 17:15 --

Имеем, что две стороны параллельны и диагонали пополам не делятся. Этого достаточно?

[gris]

Если бы четырёхугольник был бы параллелограммом, то диагонали делились бы пополам. А они не делятся. Это доказательство от противного.

[StaticZero]

Спасибо.

[arseniiv]

(Оффтоп)

В задаче разве просят доказать, что та трапеция — не параллелограмм? Она, конечно, не, но зачем доказывать лишнее

StaticZero в сообщении #905504 писал(а):

$|LM| \neq |KN|$

?

Или где-то параллелограммы не считаются подмножеством трапеций?

[gris]

(Оффтоп)

Говорят, что раньше и трапеции, и паралеллограммы жили в одном государстве Трапецоидов. Но потом параллелограммная элита — ромбы — взбаламутила народ, типа, их называют равнобедренными трапециями и требуют, чтобы углы при основании были равны по Теореме. Паралеллограммы отделились, но это не все признали. Трапеции роптали, косо посматривали, но теперь у них же новая идея: присоединить к себе треугольники как свой предельный случай. Некоторые называют его вырожденным...
Так что впереди возможны потрясения. Но надо помнить, товарищи, что все вы мы многоугольники, а ещё шире — фигуры, и нечего нам диагоналями меряться.

Я сама — Трапеция с перпендикулярными диагоналями, описанная, вписанная, целочисленная. Не на помойке себя нашла.

[ewert]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #905725 писал(а):

Или где-то параллелограммы не считаются подмножеством трапеций?

Это действительно противоречит математическому здравому смыслу, но в школе, увы, так принято. В данном случае двусмысленность задания смягчается указанием на то, что точка -- не на середине: оно было бы бессмысленным, если бы не предполагалось опровержение параллелограммности.

[Evgenjy]

Строго говоря, решение не полное, поскольку не рассмотрена вторая диагональ.

[TOTAL]

Evgenjy в сообщении #905756 писал(а):

Строго говоря, решение не полное, поскольку не рассмотрена вторая диагональ.

Какие есть основания надеяться, что на второй диагонали получится рассмотреть что-то новое?

[StaticZero]

arseniiv в сообщении #905725 писал(а):

Или где-то параллелограммы не считаются подмножеством трапеций?

Это ЕГЭ. Там, как мне известно, самодеятельность карается. Да и условие задачи располагает к более точной классификации.

[arseniiv]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #905754 писал(а):

Это действительно противоречит математическому здравому смыслу, но в школе, увы, так принято.

В том и дело, что у нас было как раз «по логике»! По крайней мере, в учебнике — на деле не помню, чтобы кто-то вообще спрашивал кого-то про то, а трапеция ли тот параллелограмм и наоборот.