Расслоения на многообразиях

[Nobody85]

Объясните, пожалуйста, наглядно понятие расслоения и касательного расслоения на примере двумерных многообразий. А также, если можно, понятие ковариантной производной. Откуда берутся эти понятия и каков их геометрический смысл? Заранее большое спасибо.

[Munin]

Вы имеете в виду двумерные многообразия как базы расслоений, или расслоения, которые сами являются двумерными многообразиями?

[Oleg Zubelevich]

Примеры надо рассматривать. По-моему первый хороший пример это кольцо: база расслоения -- окружность; слой -- интервал. Это тривиальное рассслоение, оно суть прямое произведение $S^1\times (0,1)$.
А теперь рассмотрите лист Мебиуса. Казалось бы тоже самое: база расслоения -- окружность; слой -- интервал. Но лист Мебиуса это неориентируемое многообразие. Расслоение нетривиально.

На формуме тут недавно обсуждалась тема про то почему касательное расслоение к сфере нетривиально -- найдите ее.

Множество положений твердого тела с неподвижной точкой это группа $SO(3)$. И пусть $A$ это неподвижная точка твердого тела. Опишем вокруг этой точки сферу, и вморозим в твердое тело луч с началом в точке $A$. Теперь для того, что бы задать положение твердого тела нам достаточно задать точку на сфере ,в которой луч протыкает сферу и угол поворота твердого тела вокруг луча. И так $SO(3)$ это расслоение с базой $S^2$ и слоем $S^1$(если я не просчитался жестоко )

[arseniiv]

Если с этими расслоениями будет всё хорошо, касательное расслоение — это расслоение со слоем — касательным в данной точке базы векторным пространством. Например, касательное расслоение прямой или какой-нибудь неограниченной односвязной кривой — всё равно что плоскость $\mathbb R\times\mathbb R$. Касательное расслоение окружности или замкнутой несамопересекающейся кривой — что цилиндр $S^1\times\mathbb R$. Для двумерных многообразий касательное расслоение трудно представить, потому что их слой тоже двумерен.

Самое интересное в индуцированных на касательном расслоении вещах. Т. к. я ещё не удосужился почитать про это, пока могу только в потолок пальцем тыкать, и потому с иллюстрациями здесь закончу. (Ну и вообще поправьте, если что.)

[Nobody85]

Спасибо за ответы) Ещё мне хотелось бы понять "откуда растут ноги" у понятия расслоения, для чего оно вводится и что оно может рассказать о своей базе. Насколько я понимаю, понятие расслоения связано с кривизной многообразия и понятием связности?

[Munin]

С кривизной многообразия - не связано. Для расслоения вводится своя собственная связность расслоения и кривизна расслоения.

-- 08.09.2014 22:45:07 --

Одно из использований понятия расслоения - это возможность рассмотрения некоторых структур (гладкой, римановой) на многообразии путём пересказа их на языке касательного расслоения. Но само по себе понятие расслоения намного более мощное и универсальное.