Дифференциал сложной ФМП.

[main.c]

Нужно найти дифференциал 1 и 2 порядка у функции $u$, $\varphi$ - дважды дифференцируемая функция :

$$u = \varphi(\xi, \eta), \ \xi = x^2 + y^2, \ \eta = xy$$

С первым дифференциалом сложности нет, а вот со вторым - есть.
$du = \varphi_1'd\xi + \varphi_2'd\eta$
$d^2u = d(\varphi_1'd\xi) + d(\varphi_2'd\eta) = d(\varphi_1')d\xi + \varphi_1'd^2\xi + d(\varphi_2')d\eta + \varphi_2'd^2\eta$
$d(\varphi_1') = \varphi_{11}''d\xi + \varphi_{12}''d\eta$
$d(\varphi_2') = \varphi_{21}''d\xi + \varphi_{22}''d\eta$
$d^2u = (\varphi_{11}''d\xi + \varphi_{12}''d\eta)d\xi + \varphi_1'd^2\xi + (\varphi_{21}''d\xi + \varphi_{22}''d\eta)d\eta + \varphi_2'd^2\eta = \\ \varphi_{11}''d\xi^2 + \varphi_{12}''d\eta d\xi + \varphi_1'd^2\xi + \varphi_{21}''d\xi d\eta + \varphi_{22}''d\eta^2 + \varphi_2'd^2\eta$
Это в общем виде, остаётся подставить дифференциалы простых функций. Вопрос вот в чём. Верно ли я оперирую с диференциалами? И можно ли эту задачу решить по-проще, не расписывая километровые выражения, или эта задача решается именно так?

[iifat]

Кто все эти буквы? Имею в виду $\varphi'_1$ и т.п.? Имеется в виду $\varphi'_\xi$?

[main.c]

iifat в сообщении #905041 писал(а):

Кто все эти буквы? Имею в виду $\varphi'_1$ и т.п.? Имеется в виду $\varphi'_\xi$?

Да - именно так. Извините, что не уточнил -думал будет понятно.
$1$ - это $\xi$
$2$ - это $\eta$

[arseniiv]

(Мне $\varphi'_1$ понятно.)

main.c в сообщении #905034 писал(а):

Вопрос вот в чём. Верно ли я оперирую с диференциалами?

Вроде да.

main.c в сообщении #905034 писал(а):

И можно ли эту задачу решить по-проще, не расписывая километровые выражения, или эта задача решается именно так?

Да это ж ещё не километровые… (Для удобства вы могли бы обозначить производные без штрихов, т. к. порядок ясен из количества индексов.)

[main.c]

arseniiv в сообщении #905088 писал(а):

(Мне $\varphi'_1$ понятно.)

main.c в сообщении #905034 писал(а):

Вопрос вот в чём. Верно ли я оперирую с диференциалами?

Вроде да.

main.c в сообщении #905034 писал(а):

И можно ли эту задачу решить по-проще, не расписывая километровые выражения, или эта задача решается именно так?

Да это ж ещё не километровые… (Для удобства вы могли бы обозначить производные без штрихов, т. к. порядок ясен из количества индексов.)

И ещё один вопрос, я всё подставил, вроде с ответом сошлось, вот только я не стал приравнивать $\varphi_{12}$ и $\varphi_{21}$, а автор учебника приравнял.
Насколько я знаю, функция должна быть дважды непрерывно дифференцируема, чтобы можно было приравнять смешанные производные, а у автора сказано просто дважды дифференцируема. Под этим неявно подразумевают непрерывно или всё-таки автор поторопился, приравняв производные?

[мат-ламер]

main.c в сообщении #905095 писал(а):

И ещё один вопрос, я всё подставил, вроде с ответом сошлось, вот только я не стал приравнивать $\varphi_{12}$ и $\varphi_{21}$, а автор учебника приравнял

Вопрос, конечно, интересный. ИМХО, то, что функция дважды дифференцируема в точке - это сильнее, чем существование частных производных второго порядка. Они могут существовать, но различаться. Из дважды дифференцируемости следует, что функция аппроксимируется квадратичной формой с симметричной матрицей. Это матрица вторых производных - матрица Гесса. Т.е. то, что функция дважды дифференцируема - достаточно для равенства частных производных.

[demolishka]

мат-ламер в сообщении #905171 писал(а):

main.c в сообщении #905095 писал(а):

И ещё один вопрос, я всё подставил, вроде с ответом сошлось, вот только я не стал приравнивать $\varphi_{12}$ и $\varphi_{21}$, а автор учебника приравнял

Из дважды дифференцируемости следует, что функция аппроксимируется квадратичной формой с симметричной матрицей.

Не является ли симметричность матрицы Гессе следствием из непрерывности частных производных?

Вообще мне кажется автор учебника имел ввиду не просто дважды-дифференцируемость, а именно принадлежность классу $C^2(G)$, который определяется как множество дважды непрерывно дифференцируемых функций в $G$.

[main.c]

мат-ламер в сообщении #905171 писал(а):

main.c в сообщении #905095 писал(а):

И ещё один вопрос, я всё подставил, вроде с ответом сошлось, вот только я не стал приравнивать $\varphi_{12}$ и $\varphi_{21}$, а автор учебника приравнял

Вопрос, конечно, интересный. ИМХО, то, что функция дважды дифференцируема в точке - это сильнее, чем существование частных производных второго порядка. Они могут существовать, но различаться. Из дважды дифференцируемости следует, что функция аппроксимируется квадратичной формой с симметричной матрицей. Это матрица вторых производных - матрица Гесса. Т.е. то, что функция дважды дифференцируема - достаточно для равенства частных производных.

$f(x, y) = \begin{cases}xy\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}, & x^2 + y^2 \neq 0 \\ 0, & x^2 + y^2 = 0 \end{cases}$
Дважды дифференцируемая, но в (0, 0) смешанные производные различны.

[мат-ламер]

demolishka в сообщении #905186 писал(а):

Не является ли симметричность матрицы Гессе следствием из непрерывности частных производных?

Есть теорема Шварца - если частные производные существует в окрестности точки и непрерывны в самой точке - то они равны (если я не ошибся с формулировкой).

-- Вс сен 07, 2014 21:02:12 --

main.c в сообщении #905189 писал(а):

Дважды дифференцируемая, но в (0, 0) смешанные производные различны.

Ну и какая у этой функции вторая производная в нуле?

-- Вс сен 07, 2014 21:06:45 --

main.c в сообщении #905189 писал(а):

Дважды дифференцируемая, но в (0, 0) смешанные производные различны.

Эта функция присутствует в сборнике контрпримеров Гелбаума и Олмстеда как пример дифференцируемой функции с разными частными производными.

[Otta]

По поводу непрерывности смешанных производных - вот тут «Тождество смешанных производных» обсуждалось.