Задача на теорему Гаусса

[tech]

Здравствуйте.
Имеется следующая задача по общей физике:
Подсчитать среднюю объёмную плотность $\rho$ электрических зарядов в атмосфере, если известно, что напряженность электрического поля на поверхности Земли равна $100 \operatorname{V/m}$, а на высоте $h=1,5 \operatorname{km}$ эта напряжённость падает до $25 \operatorname{V/m}$.

$\textbf{E}=E(r)\frac{\textbf{r}}{r}$ в силу сферической симметрии. Далее расписываю дивергенцию, применяю теорему Гаусса. Получаю вот что:

$\operatorname{div \textbf{E}}=\frac{dE}{dr}+\frac{2E}{r}=\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(r^2E)=4\pi\rho(r)$

Отсюда можно выразить $\rho(r)$, но это ничего не даст, потому что $E(r)$ всё равно неизвестна. Застрял здесь и не знаю, что делать дальше.

Правильно ли я вообще понимаю, что средняя плотность, которую нужно найти, – это $\frac{\int\limits_R^{\infty} \rho(r)dr}{\int\limits_R^{\infty}dr}$, где $R$ - радиус Земли?

[Ms-dos4]

На поверхности земли поле создаётся зарядом Земли $\[E = \frac{Q}{{{R^2}}}\]$, на высоте $\[h\]$ участвуют и заряды в атмосфере $\[E = \frac{{Q + q}}{{{{(R + h)}^2}}}\]$. Выразите заряд атмосферы через плотность и объём.
P.S.Вы так сказать "фундаментально" к задаче подошли, по моему тут всё проще. Задачка то откуда?

[tech]

Честно говоря, я не понял, откуда берутся эти формулы для напряжённости.

[Ms-dos4]

tech
Поле создаваемое сферическим слоем/шаром.

[Munin]

Первым делом, если вы физик, надо заметить, что полтора километра - комариный чих по сравнению с радиусом Земли, и забить на все эти формулы для шара. Используйте простые формулы для плоского слоя.

[Ms-dos4]

Munin
Я хотел, что бы он выписал формулы для "шара", и затем уже пренебрёг $\[h\]$ в сумме $\[{R + h}\]$

[Munin]

Более конкретно: учёт неплоскостности этого "плоского слоя" даст поправки порядка не больше чем 1,5/6000 - то есть, в третьем-четвёртом знаке. А исходные данные даны все не более чем с двумя знаками. Так что заведомо расчётная погрешность будет выше.

-- 07.09.2014 15:54:29 --

Ms-dos4 в сообщении #905073 писал(а):

Я хотел, что бы он выписал формулы для "шара", и затем уже пренебрёг $\[h\]$ в сумме $\[{R + h}\]$

Это намерение благородное, но часто эффективней сначала пренебрегать, а потом уже выписывать формулы. Бывает, что в вашем порядке формулы и выписать будет нельзя, и получится тупик и ступор.

В общем, в обучательных целях - полезно проделать это как упражнение. Убедиться, что пренебрежение в формулах ведёт к тому, что надо. Но при этом, полезно научиться именно в первую очередь двигаться к результату, и уж вторым приоритетом - действовать правильно. (По крайней мере, пока вы сидите на физике, а не на математике.)

[tech]

Так, $E=Q/r^2$ - напряжённость поля сферы, где $Q$ – заряд на поверхности.
Но откуда берётся заряд Земли? Разве в условии сказано, что у Земли есть заряд?
Если мы будем считать атмосферу плоской, то как найдём объёмную плотность заряда?

[Ms-dos4]

tech
У земли есть заряд, т.к. в идеале атмосфера (в случае равномерного заряда) поля у земли вообще бы не создавала. Впрочем об этом не будем, вам уже Munin "сдал" всю задачу. Берите прямоугольный параллелепипед высотой $\[h\]$ и по теореме Гаусса имеете $\[[E(0) - E(h)]S = 4\pi q\]$, осталось выразить $\[q\]$ через объёмную плотность и объём параллелепипеда

[Munin]

tech в сообщении #905093 писал(а):

Разве в условии сказано, что у Земли есть заряд?

Не сказано, но больше полю на поверхности Земли взяться неоткуда.

tech в сообщении #905093 писал(а):

Если мы будем считать атмосферу плоской, то как найдём объёмную плотность заряда?

Не плоской в смысле плоскости, а плоской в смысле плоского слоя. Толщина указана: 1,5 км. Вы справитесь перевести поверхностную плотность в объёмную, если известна толщина?

-- 07.09.2014 16:55:40 --

Ms-dos4 в сообщении #905096 писал(а):

У земли есть заряд

Кстати, в задаче нет ещё одной оговорки: что поле у поверхности и на высоте полтора километра направлено в ту же сторону :-)

[tech]

То есть плотность заряда в атмосфере мы считаем постоянной? Вот это неочевидно.
У меня получилось $\rho=\frac{E(h)-E(0)}{4\pi h}\approx-0,004 \operatorname{\frac{C}{m^3}}$. Но результат не сошёлся с ответом (в ответах только число, формулы нет). Верна ли формула?

[Ms-dos4]

tech
Мда, жесть. В формулу СГС подставлять величины в СИ...
Формула в целом верная, только там должно быть $\[\rho = \frac{{E(0) - E(h)}}{{4\pi h}}\]$ (другой знак)
P.S.Мы не считаем её постоянной, а просто вычисляем некую "среднюю" величину.

[tech]

Ms-dos4
А знак же зависит от направления $\textbf{E}$, разве нет?
Если вектор напряжённости направлен от Земли, то $\Phi=\oint \textbf{E dS}=S[E(h)-E(0)]=4\pi \rho Sh$. Иначе $E(0)-E(h)=4\pi \rho h$.

[Ms-dos4]

tech
Я просто вам так говорю, что атмосфера в целом заряжена положительно (соотв. земля отрицательно), т.е. силовые линии направлены К земле.

[Munin]

tech в сообщении #905202 писал(а):

То есть плотность заряда в атмосфере мы считаем постоянной? Вот это неочевидно.

Нет, просто детальное распределение из предоставленных данных мы рассчитать не можем, и претендуем максимум на среднюю плотность.