Обобщённая дивергенция

[cool.phenon]

Oleg Zubelevich
Да, так и есть. Надо было бы догадаться, что если бы существовала, то её бы уже на 1 курсе давали

[Oleg Zubelevich]

В механие сплошной среды рассматривается закон сохранения массы: $\rho_t+\mathrm{div}\,(\rho(t,x)v(t,x))=0$. Где $v$ -- скорость среды, $\rho$ -- плотность среды. Предположим, что в среде (в газе, например) имеется ударная волна: функции $\rho,v$ являются кусочно гдакими и рвутся на гладкой гиперповерхности $S(t)\subset\mathbb{R}^3$. Напишите условия на функции $\rho,v$ на разрыве. Закон движения поверхности $S(t)$ известен. Какие-то дополнительные предположения Вам придется сформулировать по ходу рассуждений.

[Munin]

cool.phenon в сообщении #904084 писал(а):

Я знаком только с одной такой: когда $\overrightarrow{a}=\frac{x}{|x|^n}, x \in \mathbb{R}^n$. При остальных чего-то подобного не стоит ожидать?

В физике довольно много используется $\vec{a}=\tfrac{x}{|x|^n},\quad x\in\mathbb{R}^n\subset\mathbb{R}^m$ - например, заряженная прямая, плоскость. Добавляя кривизну, получаем (неравномерно) заряженную кривую, поверхность.

-- 05.09.2014 16:04:15 --

cool.phenon в сообщении #904084 писал(а):

Я знаком только с одной такой: когда $\overrightarrow{a}=\frac{x}{|x|^n}, x \in \mathbb{R}^n$. При остальных чего-то подобного не стоит ожидать?

В общем, существует даже более общий случай. Можно положить априорно $\operatorname{div}\vec{a}=$ какому-то выражению с дельта-функциями, а потом взять от него оператор $\operatorname{div}^{-1}=\mathcal{G}\ast{},$ где $\mathcal{G}$ - функция Грина. Если возьмётся, то празднуем успех. Например, таким образом можно получить поле двойного слоя, диполя (это всё первая производная от дельты), и вообще произвольного мультиполя (это $n$-я производная от дельты).