Обобщённая дивергенция

[cool.phenon]

Здравствуйте. Ищу источник, где написано об обобщённой дивергенции (как о распределении), т.е, как действовать, какие подводные камни. Посоветуйте, пожалуйста, какой-нибудь хороший источник.

[Munin]

Вам надо любую книгу по обобщённым функциям (так по-русски называются distributions) и действиям с ними. Дивергенция в данном случае - частный случай дифференциального оператора, ничем особо не примечательный.

[cool.phenon]

Дело в том, что как обобщённая дивергенция действует -- я нашёл, интересно другое: как именно после её действия возникает дельта-функция в общем случае? Есть только один конкретный пример, этого совсем мало. Смотрел разные пособия, кроме обобщённого дифференцирования ничего толком не находил, поэтому и задаю вопрос

[Red_Herring]

cool.phenon в сообщении #904023 писал(а):

ак именно после её действия возникает дельта-функция в общем случае?

Возникает то, что возникает. $\delta$–функция может возникать в результате действия многих дифференциальных операторов.

Ни в одной нормальной книге обобщенную дивергенцию рассусоливать не будут. А если где-то рассусоливают, то книга—дрянь.

[Munin]

cool.phenon в сообщении #904023 писал(а):

Смотрел разные пособия, кроме обобщённого дифференцирования ничего толком не находил, поэтому и задаю вопрос

А чем вам не нравится обобщённое дифференцирование? $\operatorname{div}=\mathbf{i}\tfrac{\partial}{\partial x}+\mathbf{j}\tfrac{\partial}{\partial y}+\mathbf{k}\tfrac{\partial}{\partial z},$ вот и всё.

[g______d]

Munin в сообщении #904034 писал(а):

А чем вам не нравится обобщённое дифференцирование? $\operatorname{div}=\mathbf{i}\tfrac{\partial}{\partial x}+\mathbf{j}\tfrac{\partial}{\partial y}+\mathbf{k}\tfrac{\partial}{\partial z},$ вот и всё.

То, что написано, - это $\nabla$, а $\mathrm{div}$ - это $(\nabla,\cdot)$.

[cool.phenon]

Хорошо, задам вопрос более конкретно. Допустим, что в области $D$ задано некоторое векторное поле $\overrightarrow{a}$ c сингулярностью в некоторой точке $x \in \operatorname{Int} D$, $\varphi$ -- пробные функции на $D$. Распишем по определению

$$(\operatorname{div}\overrightarrow{a},\varphi)=-(\overrightarrow{a},\nabla \varphi)=-\int\limits_{D}(\overrightarrow{a}, \nabla \varphi)_{\mathbb{R}^n}dD=-\lim\limits_{\varepsilon \to 0}\int\limits_{D_{\varepsilon}}(\overrightarrow{a}, \nabla \varphi)_{\mathbb{R}^n}dD_{\varepsilon}, $$

где $D_{\varepsilon}$ -- область с вырезом малого шара с центром в $x$. Тогда после применения формулы Лейбница получим:

$$(\operatorname{div}\overrightarrow{a},\varphi)=-\lim\limits_{\varepsilon \to 0}\int\limits_{D_{\varepsilon}}\left(\operatorname{div}(\varphi \overrightarrow{a})-\varphi \operatorname{div}\overrightarrow{a}\right)dD_{\varepsilon} , $$

где дивергенция уже не обобщённая, а самая обычная. Тогда после применения формулы Остроградского-Гаусса

$$(\operatorname{div}\overrightarrow{a},\varphi)=-\left(-\lim\limits_{\varepsilon \to 0}\oint\limits_{\partial _{\varepsilon}D}\varphi \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{n}\right)dS_{\varepsilon}+\lim\limits_{\varepsilon \to 0}\oint\limits_{\partial D}\varphi \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{n}\right)dS - \lim\limits_{\varepsilon \to 0}\int\limits_{D_{\varepsilon}} \varphi \operatorname{div}\overrightarrow{a}dD_{\varepsilon}\right).$$

Так как пробные функции обращаются в 0 на границе,

$$(\operatorname{div}\overrightarrow{a},\varphi)=-\left(-\lim\limits_{\varepsilon \to 0}\oint\limits_{\partial _{\varepsilon}D}\varphi \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{n}\right)dS_{\varepsilon} - \lim\limits_{\varepsilon \to 0}\int\limits_{D_{\varepsilon}} \varphi \operatorname{div}\overrightarrow{a}dD_{\varepsilon}\right)=$$

$$=\lim\limits_{\varepsilon \to 0}\varphi(x^*)\oint\limits_{\partial _{\varepsilon}D} \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{n}\right)dS_{\varepsilon}+(\operatorname{div_0}\overrightarrow{a},\varphi) $$

В последней строке $\operatorname{div_0}$ -- привычная дивергенция, вычисленная для $\overrightarrow{a}$, а интеграл намекает, что в пределе будет дельта-функция, умноженная на что-то. Это что-то -- результат вычисления интеграла. Можно ли в общем случае сказать что-то об этом интеграле?

[ewert]

cool.phenon в сообщении #904080 писал(а):

задано некоторое векторное поле $\overrightarrow{a}$ c сингулярностью в некоторой точке $x \in \operatorname{Int} D$

А что значит "с сингулярностью"?... Особенности могут быть очень разные, и лишь вполне определённая породит после дифференцирования именно дельта-функцию -- вот ровно такая, при которой интеграл по маленькой сфере стремится к константе.

[Red_Herring]

ewert в сообщении #904082 писал(а):

А что значит "с сингулярностью"?... Особенности могут быть очень разные, и лишь вполне определённая породит после дифференцирования именно дельта-функцию -- вот ровно такая, при которой интеграл по маленькой сфере стремится к константе.

В общем можно сказать для "регулярных сингулярностей" (наивное понимание) что поскольку $\delta$–функция положительно однородна степени $-n$, то $\vec{a}$ должно иметь главную часть положительно однородную степени $1-n$ (и дивергенцию $0$ вне сингулярности). Но это рассуждение применимо к очень многим дифференциальным операторам.

Ниъу нет разумных книг по обобщенной дивергенции в силу абсолютной ненужности.

[cool.phenon]

ewert
Я знаком только с одной такой: когда $\overrightarrow{a}=\frac{x}{|x|^n}, x \in \mathbb{R}^n$. При остальных чего-то подобного не стоит ожидать?

[ewert]

cool.phenon в сообщении #904084 писал(а):

При остальных чего-то подобного не стоит ожидать?

Так я и спрашиваю: чего подобного-то?... Если хочется, чтобы после дифференцирования получилась именно дельта-функция, то, грубо говоря, нет (т.е. с точностью до гармонического слагаемого, конечно). Грубо говоря, из-за того, что решение уравнения Лапласа при соотв. оговорках всё-таки единственно.

[cool.phenon]

Что-то подобное для меня здесь -- это какое-либо из известных распределений

[ewert]

cool.phenon в сообщении #904089 писал(а):

Что-то подобное для меня здесь -- это какое-либо из известных распределений

Это не ответ. Чего, собственно, от этих распределений хочется-то?

[cool.phenon]

Ну, линию я понял, то есть, если вместо $a$ подставить что-то вроде $q(x)\nabla u$, где $q(x)$ имеет какую-то сингулярность,а $u$ является неизвестным решением краевой задачи, то ничего вразумительного в общем случае я не получу

[Oleg Zubelevich]

видимо, это была попытка обобщить одномерную формулу со скачком