Закон взаимности Фробениуса

[spyphy]

Доказать, что $\langle \phi, Res (\psi) \rangle_H = \langle Ind (\phi), \psi \rangle_G$.

У Серр Ж.-П. на стр. 55 примерно такое док-во (я немного поменял обозначения).

Пусть $H$ --- подгруппа в $G$, $\phi$ и $\psi$ --- центральные функции.
Пусть $\phi_0(g) = \phi(g)$, если $g \in H$, и $\phi_0(g) = 0$, если $g \notin H$.

Индуцированный характер: $(Ind \phi)(x) = \frac{1}{|H|} \sum\limits_{g \in G} \phi_0 (g^{-1} x g )$.

Скалярное произведение $\langle \phi, \psi \rangle_G = \frac{1}{|G|} \sum\limits_{g \in G} \overline{\phi(g)} \psi(g)$.

$\langle Ind (\phi), \psi \rangle_G = \frac{1}{|G|} \sum\limits_{t \in G} ( \frac{1}{|H|} \sum\limits_{g \in G} \phi_0 (g^{-1} t^{-1} g ) ) \psi(t) = \frac{1}{|G||H|} \sum\limits_{t \in G, h \in H} \overline{\phi(h)} \psi(t)$, где $h^{-1} = g^{-1} t^{-1} g$.

$\langle \phi, Res (\psi) \rangle_H = \frac{1}{|H|} \sum\limits_{h \in H} \overline{\phi(h)} \psi(h)$.

Дальше согласно Серру искомое равенство очевидно.
Но мне оно не кажется столь уж очевидным...

[type2b]

spyphy в сообщении #903606 писал(а):

$\langle Ind (\phi), \psi \rangle_G = \frac{1}{|G|} \sum\limits_{t \in G} ( \frac{1}{|H|} \sum\limits_{g \in G} \phi_0 (g^{-1} t^{-1} g ) ) \psi(t) = \frac{1}{|G||H|} \sum\limits_{t \in G, h \in H} \overline{\phi(h)} \psi(t)$, где $h^{-1} = g^{-1} t^{-1} g$.

тут $h$ -- не любой, а сопряженный $t$ из $G$, правильно?
Я бы написал лучше так:
$ \frac{1}{|G||H|} \sum\limits_{g \in G, h \in H} \overline{\phi(h)} \psi(ghg^{-1})$, и теперь оно действительно очевидно, т.к. $\psi$ центральна.

[spyphy]

I get it, $ \psi(t) = \psi(h) $. Thanks.