Интересная связь между периодом чисел обратных к простым

[Noctus]

Игрался тут с вольфрамом и обнаружил интересную связь
если взять период числа обратного к простому, переписать
в десятичную дробь. Потом поделить 1 на полученный период (без ведущих нулей)
в результате получим десятичную дробь в периодом равным
простому числу с некоторым количеством нулей
Например:

$$\frac{1}{23} = 0.(0434782608695652173913)$$

$$\frac{1}{434782608695652173913} = 0.00000000000000000000(2300000000000000000000)$$

Как это можно объяснить?
И вообще есть-ли какая-то связь между простым числом и длиной периода?

[maxal]

Длина периода числа $1/p$ равна мультипликативному порядку $10$ по модулю $p$. При этом сам период равен $m=\frac{10^q-1}{p}$, где $q$ - длина периода.
Нетрудно видеть, что $m$ делит $10^q-1$, поэтому длина периода $1/m$ делит $q$. В частности, если эта длина равна $q$, то сам период равен $\frac{10^q-1}{m}=p$.

[nnosipov]

Noctus в сообщении #903433 писал(а):

если взять период числа обратного к простому ...

Думается, так будет для любого числа, взаимно простого с $10$, простота здесь не важна.

Noctus в сообщении #903433 писал(а):

И вообще есть-ли какая-то связь между простым числом и длиной периода?

Это сложный вопрос, который сводится к отысканию порядка числа $10$ по модулю данного простого числа $p$. Этот порядок всегда является делителем $p-1$. Для некоторых $p$ он равен $p-1$, но как описать такие $p$, неизвестно.

[Noctus]

А есть алгоритмы для вычисления мультипликативного порядка или нужно перебирать все числа до $p -1$?

[nnosipov]

Noctus в сообщении #903446 писал(а):

А есть алгоритмы для вычисления мультипликативного порядка или нужно перебирать все числа до p-1?

Алгоритмы есть, но они неэффективны. Поэкспериментируйте со 100-значными простыми числами.

[maxal]

nnosipov в сообщении #903447 писал(а):

Алгоритмы есть, но они неэффективны.

Очень даже эффективны, если известна факторизация $p-1$. В неё на самом деле всё и упирается.