если взять период числа обратного к простому ...
Думается, так будет для любого числа, взаимно простого с

, простота здесь не важна.
И вообще есть-ли какая-то связь между простым числом и длиной периода?
Это сложный вопрос, который сводится к отысканию порядка числа

по модулю данного простого числа

. Этот порядок всегда является делителем

. Для некоторых

он равен

, но как описать такие

, неизвестно.