Как выяснить сходимость данного несобственного интеграла?

[blueboar2]

Как выяснить сходимость данного несобственного интеграла?

$\int_0^1{\frac{\cos x}{x\cdot{\sin(2x^2)}}}$

Пробовал найти интеграл напрямую, не находится. Пробовал сравнить с $\frac{1}{x}$, но частное косинуса и синуса может быть как больше, так и меньше единицы. Пробовал убирать косинус или синус, заменять их на единицу, но потом все равно не смог доказать сходимость или расходимость.

Может быть как-то можно убрать синус из знаменателя, тогда знаменатель увеличится, вся дробь уменьшится, и нужно доказать, что $\int_0^1{\frac{\cos x}{x}}$ расходится. Однако он вроде сходится (хотя я не уверен).

[ИСН]

blueboar2 в сообщении #903245 писал(а):

Может быть как-то можно убрать синус из знаменателя, тогда знаменатель увеличится, вся дробь уменьшится, и нужно доказать, что $\int_0^1{\frac{\cos x}{x}}$ расходится.

Да.

[blueboar2]

А почему он расходится?
Единственное, что я могу предположить - опять взять что-то меньшее, и доказать, что оно расходится, но тут только если убрать x из знаменателя, а косинус тогда вполне себе сходится.
Интеграл этот вроде бы алгебраическими функциями не выражается.

А, вот, нашел похожую тему http://www.cyberforum.ru/mathematical-analysis/thread328379.html

[bot]

Проще было по эквивалентности, чем неравенством.

blueboar2 в сообщении #903262 писал(а):

А почему он расходится?

Ну пусть в том же русле неравенств - чего больше косинус вблизи 0?

[blueboar2]

Что значит чего? В нуле косинус равен единице, значит он больше нуля и больше x. Ну и больше синуса, конечно.

Или вы имеете в виду что он больше квадрата косинуса, который можно потом заменить на $1-\sin^2 x$, как написано по ссылке в моем предыдущем посте? Тогда я не понял что означает

"Так как в последнем равенстве первый интеграл расходится, а второй - обычный Римановский интеграл, то наш исходный интеграл - расходится.". Почему "второй" - обычный Римановский интеграл? Вдруг он тоже расходится?

[ИСН]

blueboar2 в сообщении #903265 писал(а):

Или вы имеете в виду что он больше квадрата косинуса, который можно потом заменить на $1-\sin^2 x$

Например, так, да. Хотя это какой-то избыток сложности в тривиальной ситуации. Хватило бы и того, что косинус больше $0.86$.

blueboar2 в сообщении #903265 писал(а):

Почему "второй" - обычный Римановский интеграл? Вдруг он тоже расходится?

Потому. По методам установления сходимости интегралов. Что-то меньше чего-то, а значит...

[blueboar2]

Я могу только предположить что при $x\to0$, $\sin^2 x \to x^2$, и интеграл стремится к конечному числу x, то есть, к нулю. В единице у подынтегрального выражения также конечное значение, кроме того, функция всюду непрерывна на данном отрезке (кроме x=0), следовательно площадь криволинейной трапеции будет конечна.

А, или вот, этот интеграл конечен, потому что конечен больший интеграл sinx/x, который есть интегральный синус.

[bot]

blueboar2 в сообщении #903265 писал(а):

Что значит чего? В нуле косинус равен единице, значит он больше нуля и больше x. Ну и больше синуса, конечно

Больше нуля - это смотря где и нам без пользы. Больше $x$ - уже лучше, но тоже смотря где (а нам-то где надо?), больше синуса - то же самое.
Я спрашивал чего он больше при достаточно малых $x$. Вот ИСН про 0,86 говорил, а можно было про 0,9999 сказать, а по ссылке, которую Вы приводили, $1/2$ упоминали.

blueboar2 в сообщении #903268 писал(а):

$\sin^2 x \to x^2$

А эта запись смысла не имеет. Может Вы хотели сказать, что $\sin^2x\sim x^2$ при $x \to 0$?

-- Ср сен 03, 2014 15:59:52 --

blueboar2 в сообщении #903268 писал(а):

интеграл стремится к конечному числу x, то есть, к нулю

Тоже бессмыслица.

[blueboar2]

В общем, исходный интеграл расходится, так как расходится $\int \frac{\cos{x}}{x}dx$. Он расходится, так как расходится $\int \frac{\cos^2{x}}{x}dx$, а он расходится, потому что его можно записать как разность расходящегося интеграла $\int \frac{dx}{x}$ (проверяется по определению) и сходящегося $\int \frac{\sin^2{x}}{x}dx$. Последний же сходится, так как сходится больший интеграл $\int \frac{\sin{x}}{x}dx$, а он сходится, так как это интегральный синус и его значение известно.

-- 03.09.2014, 15:19 --

bot, я понял, вы хотите сказать, что если мы возьмем, например, отрезок от 0 до $\frac{\pi}{6}$, то там косинус больше 0,5, следовательно на этом промежутке можно взять меньшую дробь, не $\int \frac{\cos x}{x}$, а $\int \frac{0,5}{x}$, показать, что она расходится, следовательно расходится и исходный интеграл, а раз расходится на меньшем промежутке, то расходится и на большем.

[ИСН]

blueboar2 в сообщении #903281 писал(а):

так как сходится больший интеграл $\int \frac{\sin{x}}{x}dx$, а он сходится, так как это интегральный синус и его значение известно.

Это плохой, негодный аргумент. Откуда оно известно? Из книг? Оттуда с тем же успехом мог быть известен ответ на первоначальную задачу, а если так, то и делать вообще ничего не надо. Нет уж, давайте опираться на факты, которые можем доказать.

blueboar2 в сообщении #903281 писал(а):

если мы возьмем, например, отрезок от 0 до $\frac{\pi}{6}$, то там косинус больше 0,5, следовательно

Вот примерно так, да.

[blueboar2]

Спасибо всем за консультацию.

[ewert]

blueboar2 в сообщении #903281 писал(а):

так как расходится $\int \frac{\cos{x}}{x}dx$

Он не может расходиться. Впрочем, и сходиться тоже не может. Он неопределённый.