В общем, исходный интеграл расходится, так как расходится

. Он расходится, так как расходится

, а он расходится, потому что его можно записать как разность расходящегося интеграла

(проверяется по определению) и сходящегося

. Последний же сходится, так как сходится больший интеграл

, а он сходится, так как это интегральный синус и его значение известно.
-- 03.09.2014, 15:19 --bot, я понял, вы хотите сказать, что если мы возьмем, например, отрезок от 0 до

, то там косинус больше 0,5, следовательно на этом промежутке можно взять меньшую дробь, не

, а

, показать, что она расходится, следовательно расходится и исходный интеграл, а раз расходится на меньшем промежутке, то расходится и на большем.