Численное решение уравнений Максвелла

[Alex345]

Необходимо численно решить систему уравнений Максвелла.
Задан ток в одном из двух проводников, а в другом его нужно определить.
Как к ней поступиться?
Если бы нужно было определить только поле, создаваемое током, то я не вижу проблемы.
Но как быть со вторым проводником?

[Munin]

А второй не подсоединён к первому? Не подсоединён к внешнему источнику? Тогда токи в нём могут быть только индукционные.

[Alex-Yu]

Alex345 в сообщении #902340 писал(а):

Необходимо численно решить систему уравнений Максвелла.
Задан ток в одном из двух проводников, а в другом его нужно определить.
Как к ней поступиться?
Если бы нужно было определить только поле, создаваемое током, то я не вижу проблемы.
Но как быть со вторым проводником?

Если Вы действительно можете посчитать поле, но только при этом не забудьте про граничные условия на втором проводе, то найти ток нет проблемы: ток равен циркуляции Н по поверхности второго провода.

Но вообще-то стандартно такие задачи решаются (приближенно) так, как описано в первом томе документации к программе NEC-2:

http://www.nec2.org/other/nec2prt1.pdf

[Alex345]

Да, именно индукционные токи во втором проводнике и требуется найти.
Граничные условия на Н я не могу использовать, т.к. Н является искомой величиной и зависит не только от заданного тока в первом проводнике, но и от наведенного (также искомого) тока во втором. В этом и есть суть проблемы.

[Munin]

Во втором проводнике электрическое поле и ток будут связаны законом Ома в объёме, а на границах на ток будут наложены граничные условия, что он везде ограничен объёмом проводника. Кажется, тогда задача корректна.

-- 31.08.2014 23:38:35 --

Как вариант, можно решать задачу итерационно (считая магнитное поле от наведённых токов малым - оно и должно быть малым). Сначала решить задачу без второго проводника, потом по найденному магнитному полю - найти ток в проводнике, добавить его поле к внешнему, найти снова ток...

[Alex-Yu]

Alex345 в сообщении #902443 писал(а):

В этом и есть суть проблемы.

Суть проблемы в том, что Вы, судя по всему, не знаете что такое граничные задачи электродинамики. И что такое граничные условия на поверхности проводника. Увы, сначала (!!!) придется заняться своим общим образованием. Без этого --- никак.

А вообще задачка стандартная из теории антенн. Точнее в антеннах там много таких задачек, еще и связанных между собой. Я Вам привел ссылку на описание програмы, реализующей эти вычисления. На теоретический том. А есть еще описание програмного кода (другой том). Легко найти любым поисковиком. И исодный текст програмы тоже есть в открытом доступе. Так что есть ВСЕ, до мельчайших деталей.

-- Пн сен 01, 2014 06:09:22 --

Munin в сообщении #902447 писал(а):

Как вариант, можно решать задачу итерационно (считая магнитное поле от наведённых токов малым - оно и должно быть малым). Сначала решить задачу без второго проводника, потом по найденному магнитному полю - найти ток в проводнике, добавить его поле к внешнему, найти снова ток...

Так не получится.

[Alex345]

В теории антенн ток в антенне считается пренебрежимо малым по сравнению с излучателем, со всеми последующими упрощениями. В моей задаче наведенный ток сравним с исходным, поэтому подход не работает.

[rustot]

Alex345 в сообщении #902340 писал(а):

Задан ток в одном из двух проводников, а в другом его нужно определить

Если задан именно ток в первом проводнике, то тем самым вы декларируете отсутствие обратной связи, ток во втором проводнике не может повлиять на ток в первом. Таким образом поле, создаваемое первым проводником, фиксировано и вам осталось итерациями подобрать такой ток во втором, чтобы создаваемое им поле в сумме с фиксированным полем первого проводника соответствовало бы во всех точках проводимости второго проводника

[Alex345]

rustot в сообщении #902516 писал(а):

Alex345 в сообщении #902340 писал(а):

Задан ток в одном из двух проводников, а в другом его нужно определить

Если задан именно ток в первом проводнике, то тем самым вы декларируете отсутствие обратной связи, ток во втором проводнике не может повлиять на ток в первом. Таким образом поле, создаваемое первым проводником, фиксировано и вам осталось итерациями подобрать такой ток во втором, чтобы создаваемое им поле в сумме с фиксированным полем первого проводника соответствовало бы во всех точках проводимости второго проводника

Да, rustot, Вы правильно поняли постановку задачи. А что значит "соответствовало бы во всех точках проводимости второго проводника"?

-- 01.09.2014, 10:12 --

Alex-Yu в сообщении #902490 писал(а):

Alex345 в сообщении #902443 писал(а):

В этом и есть суть проблемы.

Суть проблемы в том, что Вы, судя по всему, не знаете что такое граничные задачи электродинамики. И что такое граничные условия на поверхности проводника. Увы, сначала (!!!) придется заняться своим общим образованием. Без этого --- никак.

Граничные условия для поверхности являются частным случаем уравнений Максвелла.
И я не понимаю, как введение такой категории, как граничные условия на поверхности проводника, можетт помочь в понимании физической сути проблемы.
Чтобы не порождать ненужные сущности, давайте предположим, что скачкообразных границ нет, а проводимость является непрерывной функцией координат, имеющей нулевое значение между двумя областями, в одной из которых плотность тока задана, а в другой её нужно определить.

[rustot]

Alex345 в сообщении #902523 писал(а):

Да, rustot, Вы правильно поняли постановку задачи. А что значит "соответствовало бы во всех точках проводимости второго проводника"?

во всех точках проводника должно выполняться условие $\vec{j} = \sigma \vec{E}$. при этом $\vec{E}$ зависит как от тока в первом проводнике так и от плотности тока $\vec{j}$ во всех точках второго. вот итерациями и подбирать $\vec{j}$ так чтобы совпало с получаемым $\vec{E}$.

в частности, если решать задачу для сверхпроводника, надо искать такие $\vec{j}$, которые вкупе с полем токов первого проводника обнулят $\vec{E}$ во всех точках второго

[Alex-Yu]

Alex345 в сообщении #902498 писал(а):

В теории антенн ток в антенне считается пренебрежимо малым по сравнению с излучателем,

Ой, какой бред...

-- Пн сен 01, 2014 15:36:15 --

Alex345 в сообщении #902523 писал(а):

И я не понимаю, как введение такой категории, как граничные условия на поверхности проводника, можетт помочь в понимании физической сути проблемы.

Как однажды сказал Дирак в подобной ситуации, это не вопрос, это утверждение.

А ганичные условия здесь вот при чем. Электрическое поле, являющееся суммой полей от первого и второго тока должно быть как раз таким, чтобы на поверхности второго проводника выполнялись граничные условия на поверхности проводника. В итоге задача сводится к интегральному уравнению на поверхности второго проводника. Если проводник тонкий, то можно это интегральное уравнение приближенно представить как одномерное интегральное уравнение. Это уравнение затем сводится к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с помощью разложения искомых токов по некоторой, приближенно конечной, системе базисных функций. СЛАУ решается вполне школьными методами (например методом Гаусса). Все.

Рассматривать конечную проводимость проводников можно, но это сложнее. Обычно для проводников с конечным сопротивлением применяют приближенные граничные условия Леонтовича-Щукина, тогда разница небольшая по сравнению со случаем идеальных проводников. В любом случае нулевое приближение ---- идеальные проводники.

Учиться, учиться и учиться! А не фантазировать. Почитайте, что-ли, еще учебник Маркова-Сазонова "Антенны". Тот раздел, где обсуждается так называемое уравнение Геллена. Хотя в приведенной мною ссылке то же самое, по сути, написано в другой форме, что проще, понятнее. Не нужны тут затеи с вектор-потенциалом, все можно сделать прямо через поля Е и Н.

-- Пн сен 01, 2014 16:05:22 --

Alex345 в сообщении #902523 писал(а):

а проводимость является непрерывной функцией координат, имеющей нулевое значение между двумя областями, в одной из которых плотность тока задана, а в другой её нужно определить.

То же самое, что я выше написал. Только интегральное уравнение станет объемным (еще и ядро будет сингулярным). Сложнее. Во всяком случае потребуются радикально более мощные вычислительные ресурсы. С ганичными условиями уже на персоналке считается не так чтобы сразу (в сложном случае могут быть часы). А в трехмерном варианте.... Ну если у Вас есть суперкомпьютер, можно попробовать. Непонятно только зачем. Да и вообще не получится для реальной проводимости: такие резкие "всплески" тока у поверхности (скин-эффект) можно аппроксимировать только ужастно большой системой базисных функций. При этом конечная точность вычислений напрочь "убьет" решение СЛАУ, ошибки будут накапливаться и при слишком большой размерности системы базисных функций получится черт знает что, чепуха получится.

[Alex345]

Цитата:

Ой, какой бред...

От таких выражений я бы попросил Вас воздержаться.

Цитата:

Alex345 в сообщении #902523 писал(а):

И я не понимаю, как введение такой категории, как граничные условия на поверхности проводника, можетт помочь в понимании физической сути проблемы.

А ганичные условия здесь вот при чем. Электрическое поле, являющееся суммой полей от первого и второго тока должно быть как раз таким, чтобы на поверхности второго проводника выполнялись граничные условия на поверхности проводника. В итоге задача сводится к интегральному уравнению на поверхности второго проводника. Если проводник тонкий, то можно это интегральное уравнение приближенно представить как одномерное интегральное уравнение. Это уравнение затем сводится к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с помощью разложения искомых токов по некоторой, приближенно конечной, системе базисных функций. СЛАУ решается вполне школьными методами (например методом Гаусса). Все.

Рассматривать конечную проводимость проводников можно, но это сложнее. Обычно для проводников с конечным сопротивлением применяют приближенные граничные условия Леонтовича-Щукина, тогда разница небольшая по сравнению со случаем идеальных проводников. В любом случае нулевое приближение ---- идеальные проводники.

Учиться, учиться и учиться! А не фантазировать. Почитайте, что-ли, еще учебник Маркова-Сазонова "Антенны". Тот раздел, где обсуждается так называемое уравнение Геллена. Хотя в приведенной мною ссылке то же самое, по сути, написано в другой форме, что проще, понятнее. Не нужны тут затеи с вектор-потенциалом, все можно сделать прямо через поля Е и Н.

-- Пн сен 01, 2014 16:05:22 --

Уравнение Геллена написано для очень специального случая с тремя допущениями, ни одно из которых заведомо не верно для моей задачи.

И, ещё раз, давайте забудем про скачкообразные поверхности.

Как я уже говорил, меня интересует общий подход к решению проблемы.
А именно: ток и поля во втором проводнике является взаимозависимыми.
Почему её нельзя разрешить итерационными методом, как предлагают Munin и rustot?

[Alex-Yu]

Alex345 в сообщении #902554 писал(а):

Как я уже говорил, меня интересует общий подход к решению проблемы.

Я там выше дописал. Конечно, можно использовать объемное интегральное уравнение вместо поверхностного. Тогда $j=\sigma E$ вместо ганичных условий. Более того, именно так и придется делать в малофизическом случае, когда толщина скин-слоя много больше характерного размера проводника. Трехмерное уравнение это тяжело... С чисто вычислительной точки зрения. Абстрактно-то нет проблем написать, но это --- абстактная болтовня

-- Пн сен 01, 2014 16:34:31 --

Alex345 в сообщении #902554 писал(а):

Почему её нельзя разрешить итерационными методом, как предлагают Munin и rustot?

Потому что итерации разойдутся. Впрочем, можно придумать очень специальный случай, когда так можно: если второй проводник --- кольцо из очень-очень плохого проводника. Вам оно надо? Тем более, что столь плохой проводник это уже и не проводник вовсе, а скорее плохой диэлектрик. Если все же надо, то тогда в нулевом приближении все банально: $j=\sigma E$ где $E$ --- электрическое поле ТОЛЬКО от первого проводника. Ну можно поправки найти... Добавив итерационно к $E$ поле второго проводника.

[rustot]

Alex-Yu в сообщении #902555 писал(а):

Потому что итерации разойдутся

ну это можно детектировать и уменьшать вес шага если шаги перестают убывать или даже начинают расти. я как то таким способом пытался итерациями найти распределение заряда в цилиндрическом проводнике. получилось чудовищно медленно, но получилось

[Alex-Yu]

Alex345 в сообщении #902554 писал(а):

Уравнение Геллена написано для очень специального случая с тремя допущениями, ни одно из которых заведомо не верно для моей задачи.

Если Вы понимаете, КАК ВЫВОДИТСЯ уравнение Геллена, то Вы легко сообразите, как избавиться от этих допущений. Уравнения получатся сложнее, но принцип тот же.

-- Пн сен 01, 2014 17:37:48 --

rustot в сообщении #902560 писал(а):

ну это можно детектировать и уменьшать вес шага если шаги перестают убывать или даже начинают расти. я как то таким способом пытался итерациями найти распределение заряда в цилиндрическом проводнике. получилось чудовищно медленно, но получилось

Можно, конечно, создавать самому себе трудности, а потом мучительно с ними бороться. Есть анектдот об этом, но несколько неприличный, я не буду пересказывать