Аппроксимация набора данных многочленами Чебышева

[ktoto]

Имеем экспериментальные точки - набор данных $\{x_i\}_{i=0}^{N-1}$
Аппроксимируем эти точки ортогональными многочленами Чебышева со скалярным произведением вида

$$(T_k,T_m)=\int\limits_{-1}^{1} T_k(x)T_m(x)w(x)dx$$

, где $w(x)$ - весовая функция.

В дискретном случае имеем такой вид скаляного произведения:

$$(T_k,T_m)=\sum\limits_{i=0}^{N-1}T_k(x_i)T_m(x_i)w(x_i)$$

Отображаем набор данных на интервал ортогональности многочленов Чебышава: $[x_0, x_{N-1}] \rightarrow [-1, 1]$.

Вопрос: Какой должна быть весовая функция ? Ведь классическая весовая фунцкия $w(x_i) = \frac{1}{\sqrt{ 1 - x_i^2}}$ на концах $[-1,1]$ обращается в бесконечность.

[Евгений Машеров]

А почему именно такая весовая функция?
Для дискретных полиномов Чебышева $w(x)=1$.

[Brukvalub]

ktoto в сообщении #898201 писал(а):

Имеем экспериментальные точки - набор данных $\{x_i\}_{i=0}^{N-1}$
Аппроксимируем эти точки ортогональными многочленами Чебышева ...

Какая-то "нестандартная" постановка задачи. Как можно аппроксимировать набор точек на оси многочленами? Зачем это нужно?

[Евгений Машеров]

Подозреваю, что это сокращённое выражение от "Имеется набор точек $x_i$ и измеренные значения функции f(x) в этих точках, по которым надо аппроксимировать функцию".

[ktoto]

Brukvalub в сообщении #898351 писал(а):

Какая-то "нестандартная" постановка задачи. Как можно аппроксимировать набор точек на оси многочленами? Зачем это нужно?

Дейстивительно я неверно написал, $\{x_i\}_{i=0}^{N-1}$ - это область определения аппроксимируемой функции, в дискретном случае, а не сама функция.

Евгений Машеров в сообщении #898341 писал(а):

А почему именно такая весовая функция?

По аналогии с непрерывным случаем, $\{x_i\}_{i=0}^{N-1}$ при $N \rightarrow \infty$ сумма переходит в интеграл (непрерывный случай), и это никак не должно менять характер весовой функции.

Евгений Машеров в сообщении #898341 писал(а):

Для дискретных полиномов Чебышева $w(x)=1$.

А откуда берётся, что весовая функция меняется на $w(x)=1$ для дискретного случая?

[мат-ламер]

ktoto в сообщении #898201 писал(а):

Аппроксимируем эти точки ортогональными многочленами Чебышева со скалярным произведением вида

$$(T_k,T_m)=\int\limits_{-1}^{1} T_k(x)T_m(x)w(x)dx$$

, где $w(x)$ - весовая функция.

ktoto в сообщении #898201 писал(а):

Вопрос: Какой должна быть весовая функция ?

ktoto. Я вообще вопрос не понял. Вы вводите для своих целей весовую функцию. Зачем? Какие соображения натолкнули вас на то, что там вообще должна быть весовая функция? И у нас спрашиваете, какой она должна быть? Т.е. вы у нас хотите спросить, какой должна быть постановка задачи?

[ktoto]

мат-ламер в сообщении #898413 писал(а):

ktoto. Я вообще вопрос не понял. Вы вводите для своих целей весовую функцию? Зачем? Какие соображения натолкнули вас на то, что там вообще должна быть весовая функция? И у нас спрашиваете, какой она должна быть? Т.е. вы у нас хотите спросить, какой должна быть постановка задачи?

Мне нужно только чтобы скалярное произведение давало 0, для ортогональных многочленов. Как я понимаю для многочленов Чебышева в скалярное произведение входит весовая функция.

Евгений Машеров в сообщении #898341 писал(а):

Для дискретных полиномов Чебышева $w(x)=1$.

Действительно нашёл вот такую вещь в английской Википедии, интересно как они это получили из непрерывного случая:

[Yuri Gendelman]

ktoto,
В этом сообщении: http://dxdy.ru/post877880.html#p877880
упоминается книга Румшинского. В этой книге описывается алгоритм построения интерполяционного полинома с помощью "ортогональных полиномов Чебышева на множестве точек".

[Евгений Машеров]

Весовую функцию можно вводить достаточно произвольно и строить для неё соответствующие системы ортогональных полиномов. Как правило, её вводят в силу практической потребности (неравноточности измерений или разной степени интереса к разным областям данных), но есть ситуации, когда она появляется в ходе построения системы полиномов

(Оффтоп)

Шамо приполжло!

как то вышло у Чебышева, с выражением полиномов через косинусы арккосинусов
$T_n(x)=\cos(narccos(x))$
и если она не слишком противоречит практической потребности и удобна математически - тоже употребительна.
Для полиномов, заданных на дискретном множестве точек, весовая функция обычно единица (если нет иной практической потребности).
Такие полиномы не совпадают с полиномами Чебышева на непрерывном отрезке, хотя тоже именуются Чебышева (а иногда - Грама).
Использование взамен их непрерывных п.Ч. приведёт к тому, что они уже на заданном множестве точек ортогональны не будут, и это может породить грубые ошибки.

[ktoto]

Yuri Gendelman в сообщении #898592 писал(а):

В этом сообщении: post877880.html#p877880

упоминается книга Румшинского. В этой книге описывается алгоритм построения интерполяционного полинома с помощью "ортогональных полиномов Чебышева на множестве точек".

Спасибо, отличная книга. Однако там не даётся полный вывод формул, а формулы приводятся как данность, а без вывода ценность многочленов Чебышева для меня сомнительна.

Евгений Машеров в сообщении #898620 писал(а):

Весовую функцию можно вводить достаточно произвольно и строить для неё соответствующие системы ортогональных полиномов. Как правило, её вводят в силу практической потребности (неравноточности измерений или разной степени интереса к разным областям данных), но есть ситуации, когда она появляется в ходе построения системы полиномов

Странная какая-то история с весовой функцией для дискретных полиномов Чебышева 1-го рода. Нашёл единственный вывод в книге "
Chebyshev Polynomials - Author: J.C. Mason, David C. Handscomb стр.85", причём для дискретных полиномов 2-го рода весовая функция присутствует в сумме.
В итоге, решил остановиться на полиномах Лежандра, на первый взгляд, с ними всё просто и понятно(относительно МНК), или на крайний случай Чебышев 2-го рода разобран полностью.
Спасибо за помощь.

[Евгений Машеров]

Чисто прикладной взгляд:
Если веса не вводятся умышленно (для компенсации неравноточности, для выделения "зоны особого внимания", по каким-то иным соображениям), то надо использовать полиномы, ортогональные при единичных весах.

[Yuri Gendelman]

ktoto в сообщении #901942 писал(а):

Yuri Gendelman в сообщении #898592 писал(а):

...упоминается книга Румшинского. ... "ортогональных полиномов Чебышева на множестве точек".

Однако там не даётся полный вывод формул
...
Нашёл единственный вывод в книге "Chebyshev Polynomials - Author: J.C. Mason, David C. Handscomb стр.85",...

1. В книге Mason&Handscomb речь идет о классических полиномах Чебышева - непрерывных функциях, заданных на интервале [-1, 1]. На стр. 85 рассматриваются именно эти полиномы, хоть и на дискретном наборе точек. Но вид этих полиномов НЕ ЗАВИСИТ от заданного набора точек.

2. В книге Румшинского рассматриваются другие полиномы. Их вид зависит от конкретного набора точек.

[ktoto]

Yuri Gendelman в сообщении #902204 писал(а):

2. В книге Румшинского рассматриваются другие полиномы. Их вид зависит от конкретного набора точек.

Да, формула в книге Румшинского 3.2-19 (рекуррентное соотношение) стр. 68.
Вы не могли бы разъяснить,
Почему коэффициент при старшей степени многочлена принимается равным единицей?
Ведь в общем случае этот коэффициент зависит от номера(степени) многочлена.

[iifat]

ktoto в сообщении #898201 писал(а):

В дискретном случае имеем такой вид скаляного произведения: $(T_k,T_m)=\sum\limits_{i=0}^{N-1}T_k(x_i)T_m(x_i)w(x_i)$

Что-то мне тут не нравится. Таки да, многочлены Чебышева ортогональны на отрезке $[-1,1]$, но отсюда не следует ортогональность на любом, произвольном отрезке. Разумеется, можно растянуть и нормировать, но это будут растянутые в обоих направлениях многочлены Чебышева. Некая разница наличествует.

[Евгений Машеров]

ktoto в сообщении #921083 писал(а):

Yuri Gendelman в сообщении #902204 писал(а):

2. В книге Румшинского рассматриваются другие полиномы. Их вид зависит от конкретного набора точек.

Да, формула в книге Румшинского 3.2-19 (рекуррентное соотношение) стр. 68.
Вы не могли бы разъяснить,
Почему коэффициент при старшей степени многочлена принимается равным единицей?
Ведь в общем случае этот коэффициент зависит от номера(степени) многочлена.

Для определённости. И только. Жизнь упрощается.
И, кстати, если взглянуть на приведенную Вами на рисунке формулу - он единица по построению.