2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интерполяция с помощью полиномов Чебышева
Сообщение08.12.2013, 13:50 


26/07/13
10
Уфа
Необходимо интерполировать некоторую функцию степенным рядом.
Можете подсказать алгоритм такой интерполяции, поскольку в интернете очень мало информации. А так же подсказать, как связаны между собой интерполяция степенным рядом и полиномы Чебышева? Их вроде используют для минимизации оценки погрешности, а не самой интерполяции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполяция с помощью полиномов Чебышева
Сообщение08.12.2013, 14:38 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3300
Бурашево
Вы под интерполяцией что понимаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполяция с помощью полиномов Чебышева
Сообщение08.12.2013, 14:57 


26/07/13
10
Уфа
Ну для себя я это так определил:
Нам дан конечный набор пар чисел $(x_i , y_i)$, где $i \in n$, a $n - $ количество точек(узлов).
Нам надо найти промежуточные значения на интервале $(x_0 : x_n_-_1)$.
Интерполяция - способ нахождения этих промежуточных значений, по имеющемуся у нас дискретному набору значений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполяция с помощью полиномов Чебышева
Сообщение08.12.2013, 16:25 


26/07/13
10
Уфа
В док-во того, что я что-то делаю, скажу - что я реализую программно метод интерполяции степенным рядом. Рациональную, Лагранжем и несколькими другими способами интерполяция была приведена, её примеры вы можете глянуть на скриншоте:
Картинка
п.с. тег img жалуется на то, что не может определить размеры изображения :(

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполяция с помощью полиномов Чебышева
Сообщение08.12.2013, 17:43 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3300
Бурашево
Воможно Вы имеете в виду усечённый степенной ряд (количество членов равно количеству узлов интерполяции), но тогда мы имеем дело с построением интерполяционного многочлена Лагранжа. И в случае, если мы используем ортогональные полиномы Чебышёва при интерполяции результат приведётся к многочлену Лагранжа. Интерполяционный многочлен единственный.

Думаю вам следует записать выражение для интерполирующей функции, о которой идёт разговор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполяция с помощью полиномов Чебышева
Сообщение08.12.2013, 18:08 


26/07/13
10
Уфа
Ну конкретной функции нет.
Задание звучит так: Интерполяция функции степенным рядом, полиномы Чебышева, вычисление рядов. Общая тема "Вычисление функций: интерполяция". Т.е. мне надо написать программу, которая по заданному диапазону получает наши промежуточные результаты. В моём представлении полиномы Чебышева сами задают сетку, используя рекуррентное отношение (ну те формулы, с помощью которых мы находим $T_n(x)$);
Т.е. мы получаем пары таких чисел ($x_i,T_n(x_i)$).
И тут я встаю в тупик: у меня уже задана сетка, что мне делать с сеткой Чебышева? Ведь передо мной стоит задача не аппроксимации, а именно интерполяции. И если брать интерполяцию усеченным степенным рядом, то да, мы получим полином Лагранжа, и вроде даже по теореме, такой существует единственный.
В общем именно эта часть задания ставит меня в ступор. Возможно есть ошибка в моей логике, все же я слабо разбираюсь в темах интерполяции и аппроксимации. Если вы на неё укажите, буду благодарен.
А если я все правильно понимаю, то получается либо моя интерпретация задания не верна, либо само задание некорректно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполяция с помощью полиномов Чебышева
Сообщение21.06.2014, 15:45 
Заслуженный участник


15/05/05
3337
USA
MoonGuard в сообщении #797683 писал(а):
Необходимо интерполировать некоторую функцию степенным рядом.
... как связаны между собой интерполяция степенным рядом и полиномы Чебышева?
(Хотя и поздновато, но может оказаться полезным.)

Рекомендую обратить внимание на книгу:
Л. З. Румшинский. "Математическая обработка результатов эксперимента. Справочное руководство.". М.: Наука, 1971.
В разделе 3.2-3, стр.66-70, описан метод построения интерполяционного полинома с помощью "ортогональных полиномов Чебышева на множестве точек". (Это не многочлены Чебышева, хотя и похожи.)
Преимущества по сравнению со степенным рядом:
- большая устойчивость при использовании высоких степеней аргумента;
- можно повышать степень полинома без пересчета уже найденных параметров.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group