Расходимость числовых рядов

[AlexeyM]

Помогите, пожалуйста, с вопросом насчет расходимости числового ряда. В учебниках, что я читал (Фихтенгольц, Кудрявцев) говорится, что если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ сходится и сумма его равна S, то и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}Cu_n$ сходится и сумма его равна $CS$. Однако я нигде не смог найти аналогичного свойства для расходящегося ряда. Можно ли утверждать, что если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ расходится, то и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}Cu_n$ ($C\neq 0$) также будет расходиться?

[Otta]

Ну предположите, что сходится.

[AlexeyM]

Otta в сообщении #902170 писал(а):

Ну предположите, что сходится.

Вы имеете в виду доказательство от противного? Я вроде так и доказал, - если не ошибся :) Просто почему-то ни в одном просмотренном учебнике такого свойства нету, что меня и смутило.

Получается, чтобы доказать, например, сходимость ряда с общим членом $u_n=\frac{5}{n^2}$ нужно просто сказать, что ряд с общим членом $v_n=\frac{1}{n^2}$ сходится, а так как $u_n=5v_n$, то ряд с общим членом $u_n$ также сходится.

А чтобы доказать расходимость ряда с общим членом $u_n=\frac{5}{n}$ придется передоказывать заново расходимость по аналогии с доказательством расходимости гармонического ряда, - свойства-то для константы нету :) Нельзя просто сказать, мол, так как $u_n=5\cdot\frac{1}{n}$ и гармонический ряд расходится, то будет расходиться и рассматриваемый ряд.

Может, это свойство для расходящихся рядов подразумевается как самоочевидное и потому не доказывается?

[Otta]

Очевидно, да. Но вопрос ведь не в этом, а в том, насколько оно очевидно Вам.

AlexeyM в сообщении #902174 писал(а):

Вы имеете в виду доказательство от противного? Я вроде так и доказал, - если не ошибся :)

Напишите.

[AlexeyM]

Otta, у меня вышло примерно так:

Пусть ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ расходится. Предположим, что ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}Cu_n$, где $C\neq 0$ является сходящимся и сумма его равна $S_2$. Частичная сумма второго ряда такова:

$S_{n}^{2}=\sum\limits_{k=1}^{n}Cu_k=C\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}u_k=C\cdot S_{n}^{1}$

где $S_{n}^{1}$ - частичная сумма первого ряда. Так как по условию $C\neq 0$, то:

$S_{n}^{1}=\frac{1}{C}\cdot S_{n}^{2}$

Так как по предположению ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}Cu_n$ сходится, то существует конечный предел $\lim S_{n}^{2}$, равный $S_2$. Следовательно, существует конечный предел $\lim\left(\frac{1}{C}\cdot S_{n}^{2}\right)$, равный $\frac{S_2}{C}$. Так как $\frac{1}{C}\cdot S_{n}^{2}=S_{n}^{1}$, то получаем $\lim S_{n}^{1}=\frac{S}{C}$, т.е. первый ряд сходится, что противоречит условию. Следовательно, сделанное предположение о сходимости второго ряда неверно.

[mihailm]

AlexeyM в сообщении #902174 писал(а):

...Может, это свойство для расходящихся рядов подразумевается как самоочевидное и потому не доказывается?

Не по этому конечно, учебники же не резиновые

[AlexeyM]

mihailm в сообщении #902185 писал(а):

AlexeyM в сообщении #902174 писал(а):

...Может, это свойство для расходящихся рядов подразумевается как самоочевидное и потому не доказывается?

Не по этому конечно, учебники же не резиновые

Да ладно :) У них хватает места, чтобы помещать в конце параграфов бесполезные упражнения, к которым нет ни единого ответа в конце книги (собственно, поэтому они и бесполезны). А на маленькое свойство пожалели пару строк? Это печально :)

[Otta]

Да, это хорошо.
Только Вы переусложнили себе задачу. У Вас же есть вот это:

AlexeyM в сообщении #902169 писал(а):

если ряд (1) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ сходится и сумма его равна $S$ , то и ряд (2) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}Cu_n$ сходится и сумма его равна $CS$.

Ну и пожалуйста, пусть теперь первый ряд расходится. Предположим, что второй, тем не менее, сходится. Но первый равен $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac1C\cdot (Cu_n)$, и значит, тоже сходится. Все.

-- 30.08.2014, 23:28 --

AlexeyM в сообщении #902186 писал(а):

Да ладно :) У них хватает места, чтобы помещать в конце параграфов бесполезные упражнения, к которым нет ни единого ответа в конце книги (собственно, поэтому они и бесполезны). А на маленькое свойство пожалели пару строк? Это печально :)

Печально, что Вы упражнения видите как бесполезные. А их решать надо, тогда такие вопросы возникать не будут - эти все якобы недостающие свойства должны доказываться самостоятельно.

[AlexeyM]

Otta, спасибо, в вашем изложении доказательство действительно покороче :) А упражнения бесполезны, так как ответов к ним нет, - как же я узнаю, верно я решил или неправильно? Особенно если изучать материал самостоятельно. Хоть это и отклонение от темы, но я вообще полагаю, что не разместить ответы и указания в конце книги - это высказать своё пренебрежение к читателю.

[Otta]

AlexeyM в сообщении #902190 писал(а):

А упражнения бесполезны, так как ответов к ним нет, - как же я узнаю, верно я решил или неправильно?

Внимательно проверяя себя. Следя за своими действиями. В учебниках обычно не приводят ответы, только в задачниках. Берите задачник, чтобы уж с ответами.
А рассуждения, подобные приведенному мной выше, относятся к категории устных, их приходится проделывать очень часто.

[AlexeyM]

Otta, спасибо за помощь и советы :) По задачникам и приходиться учиться, т.к. проверка себя не часто помогает, - чаще всего смотришь на задачу и думаешь: неужели я должен ее решить, опираясь на материал параграфа? А потом случайно встречаешь ее в какой-то книге с решением на страницу :)

[Otta]

AlexeyM в сообщении #902192 писал(а):

А потом случайно встречаешь ее в какой-то книге с решением на страницу :)

Да, в учебниках стараются приводить содержательные задачи, все верно.