2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Расходимость числовых рядов
Сообщение30.08.2014, 19:46 


19/04/11
69
Помогите, пожалуйста, с вопросом насчет расходимости числового ряда. В учебниках, что я читал (Фихтенгольц, Кудрявцев) говорится, что если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ сходится и сумма его равна S, то и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}Cu_n$ сходится и сумма его равна $CS$. Однако я нигде не смог найти аналогичного свойства для расходящегося ряда. Можно ли утверждать, что если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ расходится, то и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}Cu_n$ ($C\neq 0$) также будет расходиться?

 Профиль  
                  
 
 Re: Расходимость числовых рядов
Сообщение30.08.2014, 19:48 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Ну предположите, что сходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расходимость числовых рядов
Сообщение30.08.2014, 19:59 


19/04/11
69
Otta в сообщении #902170 писал(а):
Ну предположите, что сходится.


Вы имеете в виду доказательство от противного? Я вроде так и доказал, - если не ошибся :) Просто почему-то ни в одном просмотренном учебнике такого свойства нету, что меня и смутило.

Получается, чтобы доказать, например, сходимость ряда с общим членом $u_n=\frac{5}{n^2}$ нужно просто сказать, что ряд с общим членом $v_n=\frac{1}{n^2}$ сходится, а так как $u_n=5v_n$, то ряд с общим членом $u_n$ также сходится.

А чтобы доказать расходимость ряда с общим членом $u_n=\frac{5}{n}$ придется передоказывать заново расходимость по аналогии с доказательством расходимости гармонического ряда, - свойства-то для константы нету :) Нельзя просто сказать, мол, так как $u_n=5\cdot\frac{1}{n}$ и гармонический ряд расходится, то будет расходиться и рассматриваемый ряд.

Может, это свойство для расходящихся рядов подразумевается как самоочевидное и потому не доказывается?

 Профиль  
                  
 
 Re: Расходимость числовых рядов
Сообщение30.08.2014, 20:05 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Очевидно, да. Но вопрос ведь не в этом, а в том, насколько оно очевидно Вам.
AlexeyM в сообщении #902174 писал(а):
Вы имеете в виду доказательство от противного? Я вроде так и доказал, - если не ошибся :)

Напишите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расходимость числовых рядов
Сообщение30.08.2014, 20:19 


19/04/11
69
Otta, у меня вышло примерно так:

Пусть ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ расходится. Предположим, что ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}Cu_n$, где $C\neq 0$ является сходящимся и сумма его равна $S_2$. Частичная сумма второго ряда такова:

$S_{n}^{2}=\sum\limits_{k=1}^{n}Cu_k=C\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}u_k=C\cdot S_{n}^{1}$

где $S_{n}^{1}$ - частичная сумма первого ряда. Так как по условию $C\neq 0$, то:

$S_{n}^{1}=\frac{1}{C}\cdot S_{n}^{2}$


Так как по предположению ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}Cu_n$ сходится, то существует конечный предел $\lim S_{n}^{2}$, равный $S_2$. Следовательно, существует конечный предел $\lim\left(\frac{1}{C}\cdot S_{n}^{2}\right)$, равный $\frac{S_2}{C}$. Так как $\frac{1}{C}\cdot S_{n}^{2}=S_{n}^{1}$, то получаем $\lim S_{n}^{1}=\frac{S}{C}$, т.е. первый ряд сходится, что противоречит условию. Следовательно, сделанное предположение о сходимости второго ряда неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расходимость числовых рядов
Сообщение30.08.2014, 20:22 


19/05/10

3940
Россия
AlexeyM в сообщении #902174 писал(а):
...Может, это свойство для расходящихся рядов подразумевается как самоочевидное и потому не доказывается?
Не по этому конечно, учебники же не резиновые

 Профиль  
                  
 
 Re: Расходимость числовых рядов
Сообщение30.08.2014, 20:26 


19/04/11
69
mihailm в сообщении #902185 писал(а):
AlexeyM в сообщении #902174 писал(а):
...Может, это свойство для расходящихся рядов подразумевается как самоочевидное и потому не доказывается?
Не по этому конечно, учебники же не резиновые


Да ладно :) У них хватает места, чтобы помещать в конце параграфов бесполезные упражнения, к которым нет ни единого ответа в конце книги (собственно, поэтому они и бесполезны). А на маленькое свойство пожалели пару строк? Это печально :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Расходимость числовых рядов
Сообщение30.08.2014, 20:27 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Да, это хорошо.
Только Вы переусложнили себе задачу. У Вас же есть вот это:
AlexeyM в сообщении #902169 писал(а):
если ряд (1) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ сходится и сумма его равна $S$ , то и ряд (2) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}Cu_n$ сходится и сумма его равна $CS$.

Ну и пожалуйста, пусть теперь первый ряд расходится. Предположим, что второй, тем не менее, сходится. Но первый равен $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac1C\cdot (Cu_n)$, и значит, тоже сходится. Все.

-- 30.08.2014, 23:28 --

AlexeyM в сообщении #902186 писал(а):
Да ладно :) У них хватает места, чтобы помещать в конце параграфов бесполезные упражнения, к которым нет ни единого ответа в конце книги (собственно, поэтому они и бесполезны). А на маленькое свойство пожалели пару строк? Это печально :)

Печально, что Вы упражнения видите как бесполезные. А их решать надо, тогда такие вопросы возникать не будут - эти все якобы недостающие свойства должны доказываться самостоятельно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расходимость числовых рядов
Сообщение30.08.2014, 20:32 


19/04/11
69
Otta, спасибо, в вашем изложении доказательство действительно покороче :) А упражнения бесполезны, так как ответов к ним нет, - как же я узнаю, верно я решил или неправильно? Особенно если изучать материал самостоятельно. Хоть это и отклонение от темы, но я вообще полагаю, что не разместить ответы и указания в конце книги - это высказать своё пренебрежение к читателю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расходимость числовых рядов
Сообщение30.08.2014, 20:37 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
AlexeyM в сообщении #902190 писал(а):
А упражнения бесполезны, так как ответов к ним нет, - как же я узнаю, верно я решил или неправильно?

Внимательно проверяя себя. Следя за своими действиями. В учебниках обычно не приводят ответы, только в задачниках. Берите задачник, чтобы уж с ответами.
А рассуждения, подобные приведенному мной выше, относятся к категории устных, их приходится проделывать очень часто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расходимость числовых рядов
Сообщение30.08.2014, 20:42 


19/04/11
69
Otta, спасибо за помощь и советы :) По задачникам и приходиться учиться, т.к. проверка себя не часто помогает, - чаще всего смотришь на задачу и думаешь: неужели я должен ее решить, опираясь на материал параграфа? А потом случайно встречаешь ее в какой-то книге с решением на страницу :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Расходимость числовых рядов
Сообщение30.08.2014, 20:44 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
AlexeyM в сообщении #902192 писал(а):
А потом случайно встречаешь ее в какой-то книге с решением на страницу :)

Да, в учебниках стараются приводить содержательные задачи, все верно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group