Почему независимы координата и производная от неё?

[Munin]

Теперь добавьте, что состояние механической системы - это не только "фотография", но ещё и скорость. Чтобы задачу Коши можно было однозначно решить.

-- 29.08.2014 16:54:38 --

Ms-dos4

Munin в сообщении #901698 писал(а):

Во многих учебниках мутно изложенное.

(Фраза, что я это "не очень-то понимаю", частично была провокационной. В общем, объясните это не мне, а Nvcz, который, похоже, ЛЛ-1 в первый раз читает.)

[Arkhipov]

Вставлю свои 5 копеек. Рассмотрим дискретную задачу двумя способами: первый, который подспудно указан Nvcz:

$$\sum{(q_{i+1}-q_i)^2}$$

дает уравнение:

$$2q_i-q_{i+1}-q_{i-1}=0$$

Второй, более ортодоксальный:

$$\sum{v_i^2+\lambda_i(q_{i+1}-q_i-v_i)}$$

дает систему:

$$v_{i+1}-v_i=0$$

$$q_{i+1}-q_i=v_i$$

[Nemiroff]

Несколько в тему:
http://physics.stackexchange.com/questi ... methods-in
http://physics.stackexchange.com/questi ... -depend-on

[Alex-Yu]

Nvcz в сообщении #901631 писал(а):

Но откуда вообще берётся необходимость рассматривать Лагранжиан как $L = L(q,\dot q, t) $, а не ограничиться одним только $L = L(q, t) $, ведь $\dot q$ однозначно определяется через $q$.

На самом деле это хороший вопрос. Ответ на него примерно такой. Первичным понятием является действие, т.е. ФУНКЦИОНАЛ от траектории. Далее рассматривается очень специальный частный случай функционала, когда он может быть представлен в виде интеграла по времени. Но что может быть под таким интегралом? Рассмотрим очень маленькую траекторию, на которой траектория может рассмтриваться как линейная функция. Чем характеризуется такое движение? Двумя параметрами: координатой и скоростью. Прямая полностью определяется двумя параметрами Вот тогда функционал и будет интегралом от функций этих двух переменных.

Конечно это абсолютно нестогое рассуждение. Хотябы уже потому, что лагранжева функция, в принципе, может зависеть и от высших производных. Но надеюсь это рассуждение натолкнет на интуитивное понимание проблемы. Собственно здесь специальный случай функционала, квазилокальный. Если бы не было зависимости от скорости, то был бы чисто локальный функционал. Зависимость от скорости это простейший учет нелокальности функционала действия. Интуитивно довольно ясно, что чисто локальным функционалом действия невозможно описать динамику, т.е., своего рода влияние соседних моментов времени друг на друга.

В принципе все это, думаю, можно перевести на довольно корректный математический язык. Но увы, мне об этом думать некогда, других проблем хватает.

[Munin]

Есть в физике примеры и других функционалов. Например, классическая электродинамика Фейнмана.

[Red_Herring]

Alex-Yu в сообщении #901754 писал(а):

Интуитивно довольно ясно, что чисто локальным функционалом действия невозможно описать динамику, т.е., своего рода влияние соседних моментов времени друг на друга.

Просто если функционал содержит старшую производную порядка $n$, то уравнение будет порядка $2n$, a уравнения Ньютона которые мы хотим получить в самом простейшем случае—порядка $2$. Это согласуется с тем, что в начальный момент надо знать не только координаты, но и скорости.

[Munin]

Ну, это на самом деле подгонка под ответ. В механике мы знаем, что хотим получить уравнения Ньютона, но лагранжев формализм простирается гораздо шире механики. Почему-то он работает, но почему - никто, положа руку на сердце, сказать не сможет. Насчёт числа производных - на эту тему в КТП есть соображения.

[Red_Herring]

Разумеется, это подгонка под ответ—что Лагранж и его современники и делали. Как отметил Alex-Yu в принципе Лагранжиан мог бы содержать и производные высших порядков по времени. Почему так в физических задачах не бывает

Б.Окуджава писал(а):

Так природа захотела,
Почему, не наше дело,
Для чего, не нам судить.

Но если бы вообще бы в Лагранжиане не было бы производных по времени, их не было бы и в уравнении, что было бы весьма странно.

Red_Herring в сообщении #901801 писал(а):

Просто если функционал содержит старшую производную порядка $n$, то уравнение будет порядка $2n$

Правильнее "то уравнение будет порядка не выше $2n$" и в некоторых случаях будет меньше $2n$. Например для $n=1$, то можно сконструировать Лагранжианы (линейные по $\dot{q}$), такие что что уравнения будут первого порядка по $t$

[Oleg Zubelevich]

Red_Herring в сообщении #901910 писал(а):

Разумеется, это подгонка под ответ—что Лагранж и его современники и делали.

предлагаю вместо фразы "подгонка под ответ" использовать слово "теорема"

[Red_Herring]

Oleg Zubelevich в сообщении #901911 писал(а):

Red_Herring в сообщении #901910 писал(а):

Разумеется, это подгонка под ответ—что Лагранж и его современники и делали.

предлогаю вместо фразы "подгонка под ответ" использовать слово "теорема"

Речь идет не о теореме, а о мотивировке: почему мы включаем в Лагранжиан $\dot{q}$. Т.е. почему условия теоремы (вариационная задача) такие, а не какие другие.

[Oleg Zubelevich]

Лагранж и его современники категориями ЛЛ-1 не мыслили, Лагранж выводил свои уравнения из принципа Даламбера, а принцип Даламбера выводитсся из 2 закона Ньютона+ идеальность связей. Вид лагранжиана им был известен заранее .А то, что уравнения Лагранжа получаются из вариационного принципа для них было уже следующей итерацией.

[Утундрий]

Господа, вы совсем с катушек съехали?

Нет, я не про предлОгаю (хотя доставляет и весьма). Я о другом.

$$\[ \begin{gathered} q \to q + h \hfill \\ L\left( {q,\dot q} \right) \to L\left( {q + h,\dot q + \dot h} \right) = L\left( {q,\dot q} \right) + L_q \left( {q,\dot q} \right)h + L_{\dot q} \left( {q,\dot q} \right)\dot h + ... \hfill \\ \end{gathered} \] $$

Что тут обсуждать?!

[Someone]

Ну почему бы не пообсуждать формулу дифференциала (или производной) сложной функции…

[Oleg Zubelevich]

Утундрий в сообщении #901922 писал(а):

Господа, вы совсем с катушек съехали?

Нет, я не про предлОгаю (хотя доставляет и весьма). Я о другом.

$$\[ \begin{gathered} q \to q + h \hfill \\ L\left( {q,\dot q} \right) \to L\left( {q + h,\dot q + \dot h} \right) = L\left( {q,\dot q} \right) + L_q \left( {q,\dot q} \right)h + L_{\dot q} \left( {q,\dot q} \right)\dot h + ... \hfill \\ \end{gathered} \] $$

Что тут обсуждать?!

это уже написано выше

[Утундрий]

Someone в сообщении #901923 писал(а):

почему бы не пообсуждать формулу дифференциала (или производной) сложной функции…

Действительно... Это ведь так не очевидно... Тут столько подводных камней...

-- Сб авг 30, 2014 00:51:43 --

Oleg Zubelevich в сообщении #901924 писал(а):

написано выше

Какая досада, не приметил. Можете дать точную ссылку?

-- Сб авг 30, 2014 00:55:21 --

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #901926 писал(а):

исправил практически сразу, а в цитате осталось, я ведь тоже цепляться умею

Цепляйтесь сколько угодно, но и сами тоже поймите - это некоторым, вроде меня, как серпом по... гландам.