naanov Тривиальное тождество в доказательстве ВТФ

[naanov]

Уважаемый nnosipov, понимаю Ваше справедливое возмущение потоком сознания, ясностью и пустотой, образцом мутности:

nnosipov в сообщении #900528 писал(а):

naanov в сообщении #900498 писал(а):
При этом $s_1$ определяется не для $i = 2$, а для $i = 1$ (26), $s_2$ определяется не для $i = 3$, а для $i = 2$ (32).
Начиная с этого странного заявления, далее идёт поток сознания. Никаким усилием воли я не могу заставить себя его прочитать.
naanov в сообщении #900498 писал(а):
прихожу к заключению, что у Вас имеются основания для скепсиса.
Могу сказать, что теперь их ещё больше. Если Ваш предыдущий текст был ясным и пустым, то последний --- просто образец мутности, он написан на неизвестном мне языке.

Повторно заключаю: у Вас имеются основания для скепсиса. Повторю ещё раз:

naanov в сообщении #900498 писал(а):

Уважаемый nnosipov, перечитывая п.13 доказательства, прихожу к заключению, что у Вас имеются основания для скепсиса. Полагаю, что в подпунктах б) и в) п.13 необходимо изменить обозначение $i$, например, на $j$.
“б) Тогда, принимая степень уравнения (27) в качестве неизвестного параметра $j$, выпишем соответствующую систему уравнений относительно $j$, где $1 < j < 4$,
$x + y - z = s_1$, (39)
$x^{j-1} + y^{j-1} - z^{j-1} = s_{j-1}$, – (40)
в которой величины $s_1, x, y$ зафиксированы, $j$ – переменная и $s_{j-1}$ – переменная, зависящая от $j$.
в) Система (39) и (40) является всегда совместной при всегда возможном согласно п.7.г ВП значении $j = 2$ и при допущении $s_2 \not= s_1^2$ (вместо имеющегося в тексте $s_{i-1} \not= s_1^2$), где при $j = 2$ имеем $s_{j-1} = s_{2-1} = s_1$.
Таким образом, вариант $s_2 \not= s_1^2$ всегда приводится к противоречию: существование решения $j = 2$ при допущении $i = 3$, (27)”.

Теперь же прихожу к тому, что необходимо четче разъяснить следующее.
1. По определению основания $s_1$ системы $(x, y, s_1)^i$ (п.2 части II попытки доказательства) это основание устанавливается для $i = 1$ соотношением (26):
$x + y - z = s_1$, –
в котором показатель степени $i = 1$, одинаковый для всех членов соотношения (26) и дающий индекс для $s_1$, явно не выписан, что не противоречит известному языку математики.
То есть, основание $s_1$ системы $(x, y, s_1)^i$ определяется для $i = 1$, а не для $i = 2$.
Аналогично, $s_2$ для 2-го уровня системы $(x, y, s_1)^i$ (п.7 части II) устанавливается для $i = 2$ соотношением (32):
$x^2 + y^2 - z^2 = s_2$, –
в котором показатель степени $i = 2$, одинаковый для членов $x, y, z$ соотношения (32) и дающий индекс для $s_2$, выписан явно, что так же не противоречит известному языку математики.
То есть, значение $s_2$ для 2-го уровня системы $(x, y, s_1)^i$ определяется для $i = 2$, а не для $i = 3$.
2. Вы же, на основании соотношения (40):
$x^{i-1} + y^{i-1} - z^{i-1} = s_{i-1}$, –
в котором фигурирует новая переменная $i$, пришли к выводу о том, что $s_1$ определяется для $i = 2$ и $s_2$ определяется для $i = 3$.
3. Моя вина, что я спровоцировал Вас на такие выводы. Я не четко сформулировал в начале подпункта б) п.13 то обстоятельство, что, после установления взаимосвязей, описываемых соотношением (38) в подпункте а) п.13, я перехожу к решению самостоятельной подзадачи, в которой переменная $1<i<4$ по определению отличается от параметра $i$, значения которого фиксированы для уровней системы $(x, y, s_1)^i$ по определению (п.2 части II).
4. Таким образом, переменная $1<i<4$ в выражении (40) подпункта б) п.13, согласно вводному положению этого же подпункта: «принимая степень уравнения (27) в качестве неизвестного параметра $i$», – принципиально отличается от фиксированных значений $i=1,2,3$ по определению системы $(x, y, s_1)^i$ (п.2 части II).
5. Далее, как приведено в начале этого текста, я полагаю исправить допущенную нечеткость, введением переменной $1<j<4$.
С признательностью за конструктивную принципиальность.
С уважением

[nnosipov]

naanov в сообщении #900706 писал(а):

4. Таким образом, переменная $1<i<4$ в выражении (40) подпункта б) п.13, согласно вводному положению этого же подпункта: «принимая степень уравнения (27) в качестве неизвестного параметра $i$», – принципиально отличается от фиксированных значений $i=1,2,3$ по определению системы $(x, y, s_1)^i$ (п.2 части II).

Ну, допустим.

naanov в сообщении #900706 писал(а):

5. Далее, как приведено в начале этого текста, я полагаю исправить допущенную нечеткость, введением переменной $1<j<4$.

От дополнительных переменных ещё никто не умирал, но в данном случае я не уверен, что это поможет понять суть рассуждения. По-моему, туман только сгущается. Непонятно, как новый персонаж $j$ связан со старым $i$ и связан ли вообще. Эту взаимосвязь (или отсутствие таковой) следует разъяснить. Иначе совершенно непонятна суть выводимого противоречия: "существование $j=2$ при допущении $i=3$".

[naanov]

Уважаемый lasta, Вы любезно на мой вопрос:

lasta в сообщении #900648 писал(а):

naanov в сообщении #900511 писал(а):
Извините, а тезис 2 о чём?

даёте ответ:

lasta в сообщении #900648 писал(а):

Тезис 2 о том, что (28) не содержит противоречий, а (32) при произвольном $s$ всегда имеет решение.

Вот соотношение (28):
$x^3 + y^3 = (x^3 - s_1^3) + 2s_1^3 + (y^3 - s_1^3)$.
Оно, действительно, не содержит противоречий.
Вот соотношение (32):
$x^2 + y^2 - z^2 = s_2$.
Оно не содержит ни произвольного $s$, ни не-произвольного $s$ (или $S$ – не ясно выписано).
Простите, не понял, где и какое $s$?

lasta в сообщении #900648 писал(а):

Это о том, что алгебраические преобразования без проверки чисел в полученных новых соотношений на делимость их на целые числа не могут привести к доказательству. Действительно, пусть в УФ $x, y$ - натуральные, а основание $z$ - иррациональное, что всегда возможно. Тогда, используя Ваш метод, можно доказать, что количество частных сумм, определяемое натуральными $x, y$ не может быть равно иррациональному $z^2$, а значит решение УФ с иррациональным $z$ не существует.

Извините, не понял, что такое есть основание $z$ - иррациональное.
Но по существу Вашего вывода о Моем методе (звучит, почти, как «летать не может, но орёл!») должен сообщить, что система $(x, y, s)^i$ построена с целью отфильтровывать «нехорошие» варианты решений: с иррациональными и рациональными и иными ненатуральными числами. Система $(x, y, s)^i$ не применима к исследованию иррациональностей в УФ, которых там и нет. Если же появляется нечто, подобное $z^n$ – целое и $z$ – иррациональное, то система $(x, y, s)^i$ сведет такой случай к $(x^n)^1 + (y^n)^1 = (z^n)^1$. Учитывая

naanov в сообщении #900345 писал(а):

Уважаемый lasta, расширение попытки доказательства "как для рациональных , так и для иррациональных чисел, а также и для смешанных решений" невозможно, поскольку система $(x, y, s)^i$ оперирует понятием числа частных сумм, являющегося и по определению (п.5 части I попытки доказательства) и по построению (часть I попытки доказательства) натуральным числом.

мне представляется, что этот аспект обсуждения зашёл в цикл.

lasta в сообщении #900648 писал(а):

Соотношение (38) справедливое, но связывать его с $s^3$, ошибочно. Количество частных сумм от разных переменным также как и от взаимно простых фиксированных чисел не может создать из уравнения
$ax_1 + bx_2 + cx_3 = dx_4$
равенство
$a + b + c = d$.

Извините, и вновь, не понял последнее утверждение. Поясните, пожалуйста.
Соотношение (38) вот:
$(x^2 + y^2 - z^2)(x + y - z) = (z^2 - y^2)(z - x) + (z^2 - x^2)(z - y)$.
Здесь нет переменных.
Допустим, что $x, y, z$ – взаимно простые фиксированные числа.
Количество частных сумм в (38) представлено:
либо суммами слагаемых в степени 2 в скобках, тогда $x + y - z$ – является тем самым числом избыточных единиц в каждой частной сумме $x^2 + y^2 - z^2$, за счет которых, Вашими словами, идет «распределение» единиц по частным суммам $z^2 - y^2$ и $z^2 - x^2$;
либо, наоборот, суммами слагаемых в степени 1 в скобках, тогда $x^2 + y^2 - z^2$ – является тем самым числом избыточных единиц в каждой частной сумме $x + y - z$, за счет которых так же идет «распределение» единиц по частным суммам $z - y$ и $z - x$.
Допущением
$x^3 + y^3 = z^3$
оба соотношения в скобках в левой части соотношения (38) «неразрывно» связаны (взаимно определены) в систему, которая определена свойствами системы $(x, y, s)^i$, следующими из п.7 д) и е) (часть II доказательства):
$x^2 + y^2 - z^2 \longrightarrow x + y - z$ и (А)
$ x + y - z \longrightarrow x^2 + y^2 - z^2 $. (Б)
При этом $x, y, z$ – натуральные.
Это всё. (А) всегда влечет (Б) и (Б) всегда влечет (А) при изложенных и здесь и в доказательстве условиях.
А что Вы имеете ввиду?
С уважением

-- 27.08.2014, 16:06 --

Глубокоуважаемый nnosipov!
Ваше сомнение-указание:

nnosipov в сообщении #900748 писал(а):

Непонятно, как новый персонаж $j$ связан со старым $i$ и связан ли вообще. Эту взаимосвязь (или отсутствие таковой) следует разъяснить. Иначе совершенно непонятна суть выводимого противоречия: "существование $j=2$ при допущении $i=3$".

бъёт в корень (или в сердце) попытки доказательства. Признателен.
Позвольте взять тайм-аут.
С глубочайшим уважением и почтением

[naanov]

Глубокоуважаемый nnosipov !
Вы обратили внимание на важное логическое обстоятельство в доказательстве, связанное с введением новой переменной в п.13 (часть II), обозначенной в ходе нашего обсуждения символом $j$.
В этой связи, полагаю, действительно, целесообразно дать обоснование связи этого параметра, обозначенного символом $j$, с ранее введённым параметром $i$, на что Вы и указали:

nnosipov в сообщении #900748 писал(а):

Непонятно, как новый персонаж $j$ связан со старым $i$ и связан ли вообще. Эту взаимосвязь (или отсутствие таковой) следует разъяснить. Иначе совершенно непонятна суть выводимого противоречия: "существование $j=2$ при допущении $i=3$".

Для этого даю новую редакцию подпунктов б) и в) п.13 (часть II).
б) Соотношение (38) выражает взаимную определённость соотношений частных сумм вида (36) для уровня с номером $3-1=2$ и вида (37) для уровня с номером $3$ в системе $(x, y, s_1)^i$.
По определению п.5 ВП (часть I) система $(x, y, s_1)^i$ имеет уровни с номерами $i = 1, 2, 3$.
По свойству п.7.г ВП (часть I) соотношения частных сумм определены для уровней с номерами $i = 2, 3$.
Согласно п.4 степень 3 уравнения в допущении (27) равна номеру $i = 3$ уровня системы $(x, y, s_1)^i$ и определяет взаимно обусловленные соотношения всех частных сумм уровней с номерами $i = 2, 3$ по свойству п.7.г ВП (часть I) системы $(x, y, s_1)^i$.
Введем новую целочисленную переменную $j$, $1<j<4$, не превышающую значения $i = 3$, определяющего решение уравнения (1) по допущению (27).
Тогда, принимая новую целочисленную переменную $j$ в качестве степени уравнения $x^j + y^j = z^j$, при прежних значениях $x$, $y$ и $z=x+y -s_1$, выпишем соответствующую соотношению (38) систему уравнений относительно $j$:
$x + y - z = s_1$, (39)
$x^{j-1} + y^{j-1} - z^{j-1} = s_{j-1}$, – (40)
в которой величины $s_1, x, y$ зафиксированы, $j$ – переменная и $s_{j-1}$ – переменная, зависящая от $j$.
в) Система (39) и (40) является всегда совместной при всегда возможном согласно п.7.г ВП (часть I) значении $j = 2$ и при допущении $s_2 \not= s_1^2$, где при $j = 2$ имеем $s_{j-1} = s_{2-1} = s_1$.
Таким образом, вариант $s_2 \not= s_1^2$ всегда приводится к противоречию: $j = 2$ и $i = 3$, если $i = 3$ степень уравнения в допущении (27). Иначе, если уравнение (1) имеет решение степени 3 по допущению (27), то это допущение всегда влечет существование решения степени 2, что противоречит известному утверждению о единственности решения уравнения (1).
Глубокоуважаемый nnosipov, в связи с рассмотренными дополнениями, изменениями и разъяснениями, необходимость в которых обоснованно определялась уважаемыми оппонентами, позволю себе высказать следующее: доказательство в общем виде, исходящее из допущения существования решения при $i>2$, для которого пункты 5, …, 12 и 13.а являются избыточными, вероятно проще не только по форме, но и для анализа, нежели частный вариант для $n=3$. Хотя, польза от последнего несомненна.
С благодарностью

[lasta]

naanov в сообщении #900783 писал(а):

Вот соотношение (32):
$x^2 + y^2 - z^2 = s_2$.
Оно не содержит ни произвольного $s$, ни не-произвольного $s$ (или $S$ – не ясно выписано).
Простите, не понял, где и какое $s$?

Уважаемый naanov, насколько я понял Ваш метод, то главное в нем, что каждый уровень целочисленной системы определяет последующие и предыдущие уровни. Но, существуют натуральное решение $x_1^2 + y_1^2 = z_1^2$. Зафиксируем его. Тогда

$$x_1^3 + y_1^3 < z_1^3$$

И

$$x_1^3 + y_1^3 = z_1^3-s_3$$

В этом случае мы не используем неверное утверждение в предположении о существование натурального решения при $n>2$, но введение дополнительного фиксированного значения $s_3$ только увеличивает область неопределенности в поисках доказательства. а правая часть равенства $x_1^3 + y_1^3 = z_1^3-s_3$ может быть кубом с иррациональным основанием $z$. Можете ли Вы разъяснить это?

[naanov]

Уважаемый lasta!
Вы справедливо определили одно из основных свойств системы $(x, y, s_1)^i$ (метода – Вашими словами), приведенное в п.7 части I доказательства:

lasta в сообщении #901078 писал(а):

насколько я понял Ваш метод, то главное в нем, что каждый уровень целочисленной системы определяет последующие и предыдущие уровни.

Однако, прагматически, повторюсь, главное свойство системы $(x, y, s_1)^i$ состоит в том, что система $(x, y, s_1)^i$ позволяет отсечь попытки инспирировать расширение доказательства на случаи ненатуральных чисел!
Это ответ на Ваши же ранее высказанные сомнения от 13.08.2014, цитирую:
Свойства натуральных чисел никак не проявляются в ваших алгебраических преобразованиях, поэтому все Ваши равенства и неравенства одинаково справедливы как для рациональных, так и для иррациональных чисел, а также и для смешанных решений (присутствие в тройке решения иррациональных чисел). Нет критерия оценки, - существование противоречия только для натуральных.
Далее. На Ваш развернутый пример расширения доказательства в область «неопределённости»:

lasta в сообщении #901078 писал(а):

Но, существуют натуральное решение
$x_1^2 + y_1^2 = z_1^2$.
Зафиксируем его. Тогда
$x_1^3 + y_1^3 < z_1^3$ и
$x_1^3 + y_1^3 = z_1^3 - s_3$.
В этом случае мы не используем неверное утверждение в предположении о существование натурального решения при $n>2$, но введение дополнительного фиксированного значения $s_3$ только увеличивает область неопределенности в поисках доказательства, а правая часть равенства
$x_1^3 + y_1^3 = z_1^3 - s_3$
может быть кубом с иррациональным основанием $z$.
Можете ли Вы разъяснить это?

отвечаю: да, могу это разъяснить.
Если Вы допустили в начале рассуждения на тему ВТФ (т.е. $x_1<y_1<z_1$ – все натуральные) существование решения
$x_1^2 + y_1^2 = z_1^2$,
то за пределами этого «зафиксированного» решения могут возникать любые области неопределённости, примерам коих несть числа за почти четыре века попыток найти поистине удивительное доказательство.
Так, если «правая часть равенства
$x_1^3 + y_1^3 = z_1^3 - s_3$,
где $s_3$ – фиксированное,
может быть кубом с иррациональным основанием $z$», то имеем
$z_1^3 - s_3 = z^3$ или
$x_1^3 + y_1^3 = z^3$,
что, действительно, противоречит Вашему исходному допущению (и доказанному утверждению ВТФ).
Если же Вы рассуждаете о существовании иррациональных решений для уравнения, фигурирующего в утверждении ВТФ, без ограничений на параметры этого уравнения, то они, действительно, существуют. В этом случае система $(x, y, s_1)^i$ не применима по определению п.5 части I обсуждаемого доказательства.
Спасибо за вопросы.
С уважением

[naanov]

Уважаемый AV_77!
Приношу извинения, что не дал корректный ответ в свое время на Ваш вопрос:

AV_77 в сообщении #895677 писал(а):

Очень жаль, что вам не удалось простое действие - вместо $n$ подставить число $3$.
Итак, имеем:
1. Пусть
$x^3 + y^3 = z^3$.
2. Тогда справедливо
$x + y > z$,
$x^2 + y^2 > z^2$.
3. Что дальше?

Время и Форум лечат. Вариант $n=3$ состоялся.
Позвольте ответить на Ваш вопрос.
Пункт 3 и далее:
3. $(x^2 + y^2 - z^2)(x + y - z) = (z^2 - y^2)(z - x) + (z^2 - x^2)(z - y)$,
что проверяется непосредственно и чем подтверждается эквивалентность этого соотношения уравнению п.1.
4. Если обозначить степень уравнения п.1 через $j$, $1<j<4$, и полагать эту степень $j$, как переменный параметр, то соотношение можно переписать в виде:
$(x^{j-1} + y^{j-1} - z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$.
5. Из соотношения п.4 следует существование системы:
$x + y - z = s_1$, (a)
$x^{j-1} + y^{j-1} - z^{j-1} = s_{i-1}$, – (b)
где $s_1$ – следует из $x + y > z$,
$s_{i-1}$ – следует из $ x^{j-1} + y^{j-1} > z^{j-1}$, если $j$ является решением уравнения $x^j + y^j = z^j$.
Система уравнений (a) и (b) имеет решение $j=2$.
Это не доказательство, но основная идея доказательства как при $n=3$, так и в общем случае.
С уважением

[naanov]

Уважаемые участники обсуждения Темы!
Поскольку в ходе обсуждения были высказаны обоснованные замечания и заданы принципиальные вопросы, потребовавшие введения дополнительных пояснений, изменения системы обозначений и соответствующей аргументации таких изменений, восприятие полного правленого текста доказательства стало очень затруднительным в силу его распределения по множеству постов. Поэтому и согласно справедливому требованию в таких случаях:

nnosipov в сообщении #895799 писал(а):

В таком случае пишите заново текст доказательства.

вношу соответствующую целостную редакцию текста доказательства, без изменения самого доказательства по сути. Первая часть доказательства о построении целочисленной трехуровневой системы натуральных степеней натуральных чисел $x$ и $y$ с основанием $s$ вынесена за пределы доказательства основного утверждения и оформлена в виде Определений 1 и 2 и Следствия 3, поскольку построение, свойства и назначение этой системы $(x, y, s)^i$ ни общих, ни частных вопросов у участников обсуждения не вызвали.

1. Целочисленная система $(x, y, s)^i$

Определение 1.
Система
$(x, y, s)^i = \{(x^i - s^i) + 2s^i + (y^i - s^i)\}$,
где $\{(x^i - s^i) + 2s^i + (y^i - s^i)\}$ – последовательность сумм,
$(x^i - s^i)$, $(y^i - s^i)$, $2s^i$ – частные суммы,
$s<x<y$ – все натуральные,
$i = 1, 2, 3$,
называется целочисленной трехуровневой системой натуральных степеней натуральных чисел $x$ и $y$ с основанием $s$.
Определение 2.
Сумма $i$–х степеней
$(x^i - s^i) + 2s^i + (y^i - s^i)$
системы $(x, y, s)^i$ называется суммой $i$–го уровня системы $(x, y, s)^i$.
Следствие 3.
Система
$(x, y, s)^i = \{(x^i - s^i) + 2s^i + (y^i - s^i)\}$,
определяет последовательность частных сумм
${(x^{i-1} - s^{i-1}) + s^{i-1} + (y^{i-1} - s^{i-1})}$,
где $i = 2, 3$, –
в которой частные суммы $i$–го уровня содержат:
$x^{i-1} - s^{i-1}$ по $x$,
$y^{i-1} - s^{i-1}$ по $y$ и
$s^{i-1}$ по $x+y$ единиц.
Действительно.
$(x^{i-1} - s^{i-1})x + s^{i-1}(x+y) + (y^{i-1} - s^{i-1})y = x^i + y^i$ и
$x^i + y^i = (x^i - s^i) + 2s^i + (y^i - s^i)$.
Верно и обратное.

2. Доказательство утверждения для случая $n=3$

Утверждение.
Уравнение
$x^3 + y^3 = z^3$, (1)
где $x<y<z$ – все натуральные,
не имеет решений.

1. Пусть $(x, y, z)$ – произвольная тройка такая, что
$x + y > z$. (2)
2. Тогда для $i = 1, 2, 3$ по Определению 1 существует система $(x, y, s_1)^i$ с основанием $s_1$:
$(x, y, s_1)^i = \{(x^i - s_1^i) + 2s_1^i + (y^i - s_1^i)\}$, (3)
где $s_1 = x + y - z$. (4)
3. Допустим, что для тройки $(x, y, z)$ существует решение
$x^3 + y^3 = z^3$. (5)
4. Сумма $x^3 + y^3$ по Определению 2 равна сумме $3$–го уровня системы $(x, y, s_1)^i$:
$x^3 + y^3 = (x^3 - s_1^3) + 2s_1^3 + (y^3 - s_1^3)$, – (6)
и, согласно Следствию 3, содержит всего
$(x^2 - s_1^2) + s_1^2 + (y^2 - s_1^2) = x^2 + y^2 - s_1^2$ (7)
частных сумм.
5. Число $z^3$, в допущении (5), всегда может быть представлено в виде $z^2$ сумм по $z$ единиц:
$z^3 = z^2z$. (8)
6. Из допущения (5) также следует:
$x^2 + y^2 > z^2$. (9)
7. Тогда всегда справедливо
$x^2 + y^2 - z^2 = s_2$, (10)
где $s_2$ – натуральное.
8. Тогда возможны варианты: $s_2 = s_1^2$ и $s_2 \not= s_1^2$, где, как и ранее, $s_1 = x + y - z$.
9. Пусть $s_2 = s_1^2$. (11)
Тогда, после подстановки значений $s_2$ и $s_1$ из соотношений (10) и (4), имеем
$x^2 + y^2 - z^2 = (x + y - z)^2$, (12)
что является противоречием при условиях доказываемого утверждения.
10. Пусть $s_2 \not= s_1^2$, (13)
где $s_1 = x + y - z$ (4) и $s_2 = x^2 + y^2 - z^2$ (10).
а) Обратим внимание на то, что левые части соотношений:
$x + y - z = s_1$, (14)
$x^2 + y^2 - z^2 = s_2$, – (15)
определяющие согласно Следствию 3 числа частных сумм $2$–го и $3$–го уровней системы $(x, y, s_1)^i$, задают условия выполнимости уравнения (5) в виде равенства:
$(x^2 + y^2 - z^2)(x + y - z) = (z^2 - y^2)(z - x) + (z^2 - x^2)(z - y)$, – (16)
в котором сумма степеней $2$ и $1$ всегда равна степени уравнения (5): $x^3 + y^3 = z^3$, – то есть $2 + 1 = 3$.
б) Соотношение (16) выражает взаимную определённость соотношений частных сумм вида (14) для уровня с номером $2$ и вида (15) для уровня с номером $3$ при допущении (5) в системе $(x, y, s_1)^i$, что проверяется непосредственно, и влечет эквивалентность (5) и (16).
в) По Определению 1 и условию п.2 система $(x, y, s_1)^i$ имеет уровни с номерами $i = 1, 2, 3$.
г) По Следствию 3 соотношения частных сумм определены для уровней с номерами $i = 2, 3$.
д) По п.4 и Определению 2 степень $3$ уравнения в допущении (5) равна номеру $i= 3$ уровня системы $(x, y, s_1)^i$.
е) Введем новую целочисленную переменную $j$, $1 < j < 4$, не превышающую значения степени уравнения в допущении (5) $i= 3$.
ж) Тогда, принимая новую целочисленную переменную $j$ в качестве степени уравнения $x^j + y^j = z^j$, при прежних значениях $x$, $y$ и $z = x + y - s_1$, выпишем соответствующую соотношению (16) систему уравнений относительно $j$:
$x + y - z = s_1$, (17)
$x^{j-1} + y^{j-1} - z^{j-1} = s_{j-1}$, – (18)
в которой величины $s_1$, $x$, $y$ зафиксированы, $j$ – переменная и $s_{j-1}$ – переменная, зависящая от $j$.
з) Система уравнений (17) и (18) является совместной при всегда возможном согласно Следствию 3 значении $j=2$ и при допущении $s_2 \not= s_1^2$, где при $j = 2$ имеем $s_{j-1} = s_{2-1} = s_1$.
и) Таким образом, вариант $s_2 \not= s_1^2$ всегда приводит к противоречию: $j=2$ и $i=3$, если $i=3$ степень уравнения в допущении (5). Иначе, если уравнение (1) имеет своим решением степень, равную $3$, по допущению (5), то это допущение всегда влечет существование решения со степенью $2$, что противоречит известному утверждению о единственности решения уравнения (1).
11. Вариантами, рассмотренными в п.9 $s_2 = s_1^2$ и п.10 $s_2 \not= s_1^2$, исчерпаны все возможные случаи установленные в п.8.
12. Таким образом, допущение, сделанное в п.3 (5), о существовании решения уравнения (1), всегда влечет противоречия, указанные в соотношении (12) по п.9 и в решениях, указанных в п.10.и.
13. Приведение допущения п.3 (5) к противоречиям доказывает справедливость основного утверждения.
14. Ч. и т.д.

С уважением

[Феликс Шмидель]

naanov в сообщении #901538 писал(а):

и) Таким образом, вариант $s_2 \not= s_1^2$ всегда приводит к противоречию: $j=2$ и $i=3$, если $i=3$ степень уравнения в допущении (5). Иначе, если уравнение (1) имеет своим решением степень, равную $3$, по допущению (5), то это допущение всегда влечет существование решения со степенью $2$, что противоречит известному утверждению о единственности решения уравнения (1).

Что значит: "уравнение (1) имеет своим решением степень, равную $3$"? В уравнении (1):

$x^3 + y^3 = z^3$ (1)

степень равна 3, и оно может иметь своим решением тройку натуральных чисел $x, y, z$, но не степень 3.
Что это за "известное утверждение о единственности решения уравнения (1)"?
Не могли бы вы объяснить, в чём суть противоречия, почему $s_2 \not= s_1^2$ невозможно?

[naanov]

Уважаемый Феликс Шмидель!
Ваше недоумение обоснованно и бесспорно:

Феликс Шмидель в сообщении #901614 писал(а):

Что значит: "уравнение (1) имеет своим решением степень, равную "?
В уравнении (1):
$x^3 + y^3 = z^3$ (1)
степень равна 3, и оно может иметь своим решением тройку натуральных чисел $x, y, z$, но не степень 3.

Это техническая ошибка. Действительно, из п.3 доказательства:

naanov в сообщении #901538 писал(а):

3. Допустим, что для тройки $x, y, z$ существует решение
$x^3 + y^3 = z^3$. (5)

и дальнейшего текста видно, что вплоть до указанного Вами подпункта и) пункта 10 нигде нет упоминаний о том, что уравнение (1) имеет своим решением некую степень.
В этой связи, правильная формулировка должна быть: «уравнение (1) имеет степень, равную $3$, …».
Далее вопросы.
Вопрос 1.

Феликс Шмидель в сообщении #901614 писал(а):

Что это за "известное утверждение о единственности решения уравнения (1)"?

Это – утверждение:
если уравнение $x^j + y^j = z^j$ с условиями утверждения ВТФ имеет для фиксированной тройки $x, y, z$ решение $j = n$, то это решение единственное.
Действительно.
а. Пусть $x^n + y^n = z^n$, (а)
где $x, y, z$ – фиксированная тройка, $x<y<z$.
б. Тогда для всякого натурального $n - i < n$ справедливо:
$\frac {x^n} {z^{n-i}} + \frac {y^n} {z^{n-i}} = \frac {z^n} {z^{n-i}}$
$\frac {x^n} {x^{n-i}} + \frac {y^n} {y^{n-i}} > \frac {z^n} {z^{n-i}}$
$x^i + y^i > z^i$. (б)
в. Тогда для всякого натурального $i > n$ справедливо:
$x^n z^i + y^n z^i = z^n z^i$
$x^n x^i + y^n y^i < z^n z^i$
$x^{n+i} + y^{n+i} < z^{n+i}$. (в)
г. Из (а), (б) и (в) следует справедливость утверждения.
Ч. и т.д.
Утверждение справедливо и для $n=3$. Возможны иные доказательства. Здесь принимается доказательство, приведенное выше, как удовлетворяющее системе элементарных понятий, достаточных для доказательства основного утверждения.
Вопрос 2.

Феликс Шмидель в сообщении #901614 писал(а):

Не могли бы вы объяснить, в чём суть противоречия, почему $s_2 \not= s_1^2$ невозможно?

В доказательстве нигде не говорится о том, что «$s_2 \not= s_1^2$ невозможно».
В доказательстве говорится:

naanov в сообщении #901538 писал(а):

8. Тогда возможны варианты: $s_2 = s_1^2$ и $s_2 \not= s_1^2$, …

Спасибо
С уважением

[vasili]

Уважаемый naanov! В неравенстве $X^{n +i} + Y^{n+i}> Z^{n +i}$ Вы ошиблись знаком неравенства следует $X^{n + i} +Y^{n + i}< Z^{n +i}$

[lasta]

naanov в сообщении #901198 писал(а):

система $(x, y, s_1)^i$ позволяет отсечь попытки инспирировать расширение доказательства на случаи ненатуральных чисел!

Уважаемый naanov, Вы прояснили непонятные моменты и дискуссию можно продолжить уже на этом уровне. Пусть имеем равенство $x^3+y^3=z^3$, $x<y<z$, но не обременены принадлежностью к какому либо классу чисел. Также выполняются соотношения

$$(x^{3-i} +y^{3-i})>z^{3-i}$$

$$(x^{3-i} +y^{3-i})-z^{3-i}=s_{3-i}$$

и соотношение

$$(x^2 + y^2 - z^2)(x + y - z) = (z^2 - y^2)(z - x) + (z^2 - x^2)(z - y)$$

И все Ваши утверждения справедливы для данного случая.
То есть, имеем не целочисленную систему, доказывающую отсутствие любого решения УФ. Как нам выбраться из этого круга?

[naanov]

Уважаемый vasili!
Вы указываете на мою ошибку:

vasili в сообщении #901958 писал(а):

В неравенстве $X^{n+i}+Y^{n+i}>Z^{n+i}$ Вы ошиблись знаком неравенства следует $X^{n+i}+Y^{n+i}<Z^{n+i}$.

Согласен в том, что справедливо соотношение $X^{n+i}+Y^{n+i}<Z^{n+i}$. Но, позвольте, и у меня написано так:

naanov в сообщении #901901 писал(а):

$x^{n+i}+y^{n+i}<z^{n+i}$. (в)

Спасибо за внимание

[naanov]

Уважаемый lasta!
Вы ставите несколько новую задачу, расширяя исходную тему до общего формализма для некоторых $x<y<z$, о которых более ничего не известно.

lasta в сообщении #902213 писал(а):

Пусть имеем равенство $x^3+y^3=z^3$,
$x<y<z$, но не обременены принадлежностью к какому либо классу чисел.
Также выполняются соотношения
$(x^{3-i}+y^{3-i})>z^{3-i}$,
$(x^{3-i}+y^{3-i})-z^{3-i}=s_{3-i}$,
и соотношение
$(x^2+y^2-z^2)(x+y-z)=(z^2-y^2)(z-x)+(z^2-x^2)(z-y)$.
И все Ваши утверждения справедливы для данного случая.
То есть, имеем не целочисленную систему, доказывающую отсутствие любого решения УФ. Как нам выбраться из этого круга?

Позвольте усомниться в том, что все утверждения рассматриваемого доказательства справедливы для Вашей задачи, если мы "не обременены принадлежностью к какому-либо классу чисел" $x<y<z$. Цитирую пункт 2 (моего) доказательства:

naanov в сообщении #901538 писал(а):

2. Тогда для $i=1, 2, 3$ по Определению 1 существует система $(x, y, s_1)^i$ с основанием $s_1$:
$(x, y, s)^i = \{(x^i - s^i) + 2s^i + (y^i - s^i)\}$, (3)
где $s_1 = x + y - z$. (4)

Здесь "тогда" означает: для произвольной тройки $x<y<z$, удовлетворяющей условию ВТФ.
Что определяет Определение 1? Смотрим.

naanov в сообщении #901538 писал(а):

Определение 1.
Система
$(x, y, s)^i = \{(x^i - s^i) + 2s^i + (y^i - s^i)\}$,
где $\{(x^i - s^i) + 2s^i + (y^i - s^i)\}$ – последовательность сумм,
$(x^i - s^i)$, $(y^i - s^i)$, $2s^i$ – частные суммы,
$s<x<y$ – все натуральные,
$i = 1, 2, 3$,
называется целочисленной трехуровневой системой натуральных степеней натуральных чисел $x$ и $y$ с основанием $s$.

Чтобы понять основной признак частной суммы, обратимся к Следствию 3.

naanov в сообщении #901538 писал(а):

Следствие 3.
Система
$(x, y, s)^i = \{(x^i - s^i) + 2s^i + (y^i - s^i)\}$,
определяет последовательность частных сумм
${(x^{i-1} - s^{i-1}) + s^{i-1} + (y^{i-1} - s^{i-1})}$,
где $i = 2, 3$, –
в которой частные суммы $i$–го уровня содержат:
$x^{i-1} - s^{i-1}$ по $x$,
$y^{i-1} - s^{i-1}$ по $y$ и
$s^{i-1}$ по $x+y$ единиц.

То есть числа частных сумм могут быть только и только натуральными числами, как ячейки, которые "содержат" что-либо! Это означает, что в приведенном Вами выше соотношении
$(x^2+y^2-z^2)(x+y-z)=(z^2-y^2)(z-x)+(z^2-x^2)(z-y)$
представлены:
либо $x^2+y^2-z^2, z^2-y^2, z^2-x^2$ частных сумм по $x+y-z, z-x, z-y$ единиц в каждой частной сумме, соответственно,
либо $x+y-z, z-x, z-y$ частных сумм по $x^2+y^2-z^2, z^2-y^2, z^2-x^2$ единиц в каждой частной сумме, соответственно.
Далее по ходу доказательства говорится:

naanov в сообщении #901538 писал(а):

5. Число $z^3$, в допущении (5), всегда может быть представлено в виде $z^2$ сумм по $z$ единиц:
$z^3 = z^2z$. (8)

И здесь речь идёт о числе сумм, то есть о натуральном числе.
Поэтому, чтобы

lasta в сообщении #902213 писал(а):

нам выбраться из этого круга

полагаю, необходимо строго, педантично следовать всем определениям, условиям и допущениям, которые установлены для данного класса задач: в нашем случае - для конкретного обсуждаемого доказательства со всеми привходящими. Мы же не суём палец в мясорубку, дабы опровергнуть инструкцию по её применению. А вопросы Ваши очень даже в Тему.
Спасибо за вопросы
С уважением

[lasta]

naanov в сообщении #902267 писал(а):

в которой частные суммы $i$–го уровня содержат:
$x^{i-1} - s^{i-1}$ по $x$,
$y^{i-1} - s^{i-1}$ по $y$ и
$s^{i-1}$ по $x+y$ единиц. То есть числа частных сумм могут быть только и только натуральными числами, как ячейки, которые "содержат" что-либо! Это означает, что в приведенном Вами выше соотношении
$(x^2+y^2-z^2)(x+y-z)=(z^2-y^2)(z-x)+(z^2-x^2)(z-y)$
представлены:
либо $x^2+y^2-z^2, z^2-y^2, z^2-x^2$ частных сумм по $x+y-z, z-x, z-y$ единиц в каждой частной сумме, соответственно,
либо $x+y-z, z-x, z-y$ частных сумм по $x^2+y^2-z^2, z^2-y^2, z^2-x^2$ единиц в каждой частной сумме, соответственно.

Уважаемый naanov, Все это справедливо и я это прекрасно понимаю. Но, почему в этих ячейках не может быть что-либо другое? И какое конкретное соотношение не подходит для не целочисленной системы? Количество ячеек? Но, оно может быть произвольным числом. Не обязательно натуральным.