Пытаюсь разобраться с задачей (1.17) из книги В. Я. Дерр "Функциональный анализ: лекции и упражнения":
Цитата:
Пусть

,

(расстояние от точки

до множества

). Доказать, что функция

равномерно непрерывна на

.
Здесь

— метрическое пространство. Сам доказательство я не смог придумать, решил посмотреть, как это доказывается в книге (в ответах). Но и тут возникли непонятки... Вот предложенное доказательство:
Цитата:
Пусть

произвольно. В силу равномерной непрерывности метрики (
что было доказано в другом упражнении — прим.) найдётся такое

, что если

, то

для любого

(

). Согласно свойству точной нижней грани найдутся такие

, что

,

; при этом

Вычтем из второго неравенства первое. В итоге

откуда в конечном счёте получаем, что

. Согласно определению, функция

равномерно непрерывна.
Как я понял, расстояние от точки до множества следует понимать как

Но тогда как может найтись такой

, что

, если

не может быть меньше, чем

? Что, например, если

? Тогда же

, что ну никак не может быть больше положительного значения, равного по меньшей мере

.
Где ошибка в моих рассуждениях?