Равномерная непрерывность расстояния от точки до множества

[10110111]

Пытаюсь разобраться с задачей (1.17) из книги В. Я. Дерр "Функциональный анализ: лекции и упражнения":

Цитата:

Пусть $A\subset\frak M$, $f(x)\doteq\rho(x,A)$ (расстояние от точки $x\in\frak M$ до множества $A$). Доказать, что функция $f:\frak M\to\mathbb R$ равномерно непрерывна на $\frak M$.

Здесь $(\frak M,\rho)$ — метрическое пространство. Сам доказательство я не смог придумать, решил посмотреть, как это доказывается в книге (в ответах). Но и тут возникли непонятки... Вот предложенное доказательство:

Цитата:

Пусть $\varepsilon>0$ произвольно. В силу равномерной непрерывности метрики (что было доказано в другом упражнении — прим.) найдётся такое $\delta>0$, что если $\rho(x',x'')<\delta$, то $|\rho(x',y)-\rho(x'',y)|<\varepsilon$ для любого $y\in\frak M$ ($x', x''\in\frak M$). Согласно свойству точной нижней грани найдутся такие $y',y''\in\frak M$, что $f(x')>\rho(x',y')+\frac\varepsilon2$, $f(x'')>\rho(x'',y'')+\frac\varepsilon2$; при этом

$$\rho(x',y')+\frac\varepsilon2<f(x')\le\rho(x',y''),\;\rho(x'',y')\ge f(x'')>\rho(x'',y'')+\frac\varepsilon2.$$

Вычтем из второго неравенства первое. В итоге

$$\rho(x'',y')-\rho(x',y')-\frac\varepsilon2<f(x'')-f(x')<\rho(x'',y'')-\rho(x',y'')+\frac\varepsilon2,$$

откуда в конечном счёте получаем, что $|f(x'')-f(x')|<\varepsilon$. Согласно определению, функция $f$ равномерно непрерывна.

Как я понял, расстояние от точки до множества следует понимать как

$$\rho(x,A)=\inf_{z\in A}\rho(x,z).$$

Но тогда как может найтись такой $y'\in\frak M$, что $f(x')>\rho(x',y')+\frac\varepsilon2$, если $\rho(x',y')$ не может быть меньше, чем $\inf_{z\in A}\rho(x',z)$? Что, например, если $x'\in A$? Тогда же $f(x')=0$, что ну никак не может быть больше положительного значения, равного по меньшей мере $\frac\varepsilon2$.

Где ошибка в моих рассуждениях?

[Otta]

Минус там вместо плюса. В обоих неравенствах. А заключительное верно.

[10110111]

Блин, точно. Я был уверен, что где-то затаилась опечатка, но почему-то никак не подумал, что в знаке сложения. Спасибо.

[main.c]

del

[Oleg Zubelevich]

10110111 в сообщении #890452 писал(а):

Доказать, что функция $f:\frak M\to\mathbb R$ равномерно непрерывна на $\frak M$.

и даже равномерно липшицева

[Oleg Zubelevich]

а нельзя ли каким-то образом выгладить функцию $f$ что бы получить теорему Уитни topic87149.html ?

[popolznev]

Oleg Zubelevich в сообщении #901446 писал(а):

а нельзя ли каким-то образом выгладить функцию $f$ что бы получить теорему Уитни topic87149.html ?

умножить $f$ на плоскую функцию от $f$. простите, если встреваю в чужой разговор.

[Oleg Zubelevich]

не понял. а как доказывать гладкость вне множества $C$

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #901446 писал(а):

а нельзя ли каким-то образом выгладить функцию $f$ что бы получить теорему Уитни topic87149.html ?

Называется регуляризованное расстояние, есть в книге Стейна "Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций", Глава VI, параграф 2.

[mishafromusa]

popolznev в сообщении #901469 писал(а):

умножить $f$ на плоскую функцию от $f$.

А можно просто взять $g(f)$, где $g$ -- плоская (т.е. нулевая вместе со всеми производными) в нуле функция.

[Oleg Zubelevich]

g______d в сообщении #901578 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #901446 писал(а):

а нельзя ли каким-то образом выгладить функцию $f$ что бы получить теорему Уитни topic87149.html ?

Называется регуляризованное расстояние, есть в книге Стейна "Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций", Глава VI, параграф 2.

здорово! спасибо