унимодальность и дельта функция

[Zo]

Вопрос собственно такой - относится ли дельта-функция к классу унимодальных функций или это "как договориться" так и будет?

[Brukvalub]

А что есть унимодальная функция?

[Zo]

например одно из определений такое - в тервере функция распределения называется унимодальной, если функция распределения выпукла до точки, называемой модой, и вогнута после нее. Т.е. у плотности случайной величины есть одна вершина. Вот дельта функция считается ли вырожденным представителем класса унимодальных функций?

[Brukvalub]

Zo писал(а):

например одно из определений такое - в тервере функция распределения называется унимодальной, если функция распределения выпукла до точки, называемой модой, и вогнута после нее. Т.е. у плотности случайной величины есть одна вершина. Вот дельта функция считается ли вырожденным представителем класса унимодальных функций?

Дельта-функция - это обобщенная функция. Для нее не определено даже такое понятие, как значение этой функции в точке. Известно лишь ее действие, как функционала, на каждую из пробных функций. Так что мне непонятно, что нужно понимать под унимодальностью такой функции (см. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%B1%D0%BE%D0%B1%D1%89%D1%91%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F)

[Zo]

Ну вот смотрите - гауссовское распределение -унимодальное. В некоторых книжках - к гауссовским величинам относят и те, у которых дисперсия нуль. Ясно что при нулевой дисперсии гауссовская плотность превращается в дельта-функцию. Поэтому не вижу ничего странного в том, чтобы задаваться вопросом унимодальности дельта функции. Т.е. ясно что это терминологический вопрос.

[Brukvalub]

Zo писал(а):

Ясно что при нулевой дисперсии гауссовская плотность превращается в дельта-функцию.

Вот с этого места - пожалуйста, поподробнее. Я такой операции: "функция превращается", как и "перезагрузка матрицы" в математике не встречал.

Zo писал(а):

Т.е. ясно что это терминологический вопрос.

Я так не думаю. Наоборот, это вопрос принципиальный - нужно отчётливо понимать, что дельта-функция существует только как обобщенная функция, и не приписывать ей значений в точках , участков возрастания и убывания, точек максимума, точек перегиба и т.п.

[PAV]

"Плотность", задаваемая дельта-функцией, описывает дискретную случайную величину. Для дискретных величин есть свое понятие моды - это значение, принимаемое с наибольшей вероятностью. Унимодальным при этом естественно назвать такое распределение, для которого мода единственна. Вырожденная величина (константа) этому условию удовлетворяет.

[Zo]

спасибо, PAV