Вычисление якобиана при замене переменных

[mishafromusa]

ewert в сообщении #900697 писал(а):

Это смогут сделать примерно полтора человека, на потоке же их сотня. Они не математики.

А что, в наше время уже только математики умеют решать простенькие задачки? Тогда остаётся только молиться, чтоб всё не рухнуло.

[1r0pb]

ewert в сообщении #900679 писал(а):

1r0pb в сообщении #900673 писал(а):

ewert так выписывал уже.)

1r0pb в сообщении #900441 писал(а):

Хорошо. А если область ограничена линиями $xy=1,\ x+y=5/2,$ то какие будут пределы в новой системе координат? $1\leq v\leq 25/16,\ 2\leq u\leq 5/2\ ?$

Так неправильно же. Т.е. если для $u$ правильно, то для $v$ неправильно, и наоборот.

Хм... Я так рассуждал:
из заданной области получаем

$\frac{1}{x}\leq y\leq \frac{5}{2}-x\ \Rightarrow \ 1\leq xy\leq \frac{5}{2}x-{x}^{2},\ x+\frac{1}{x}\leq x+y\leq \frac{5}{2}.$

[ewert]

1r0pb в сообщении #900870 писал(а):

... Я так рассуждал:

Вы не так рассуждали (в смысле вовсе не рассуждали). Для каждой из новых переменных самой по себе пределы верны. Однако если зафиксировать эти пределы для одной из них как внешней, то для другой как внутренней они будут зависеть от значений первой. Вы же эту зависимость даже и не попытались выявить.

[mishafromusa]

1r0pb, у меня возникло подозрение, что в задачнике опечатка, и в замене переменных должно быть $v=x-y$, т.е. пропущен минус.

[1r0pb]

mishafromusa да, наверно, Вы правы.
Теперь другая проблема - какие пределы будут в новой системе координат...

[mishafromusa]

Ну это уже совсем школьная задачка

[1r0pb]

mishafromusa в сообщении #901087 писал(а):

Ну это уже совсем школьная задачка

Точно?)

mishafromusa в сообщении #900499 писал(а):

1r0pb в сообщении #900441 писал(а):

Хорошо. А если область ограничена линиями $xy=1,\ x+y=5/2,$ то какие будут пределы в новой системе координат? $1\leq v\leq 25/16,\ 2\leq u\leq 5/2\ ?$

Правильно, но на линии $x=y$ якобиан нулевой. А что за интеграл-то надо вычислять? Может попробовать $u=x-y$?

ewert в сообщении #900679 писал(а):

1r0pb в сообщении #900673 писал(а):

ewert так выписывал уже.)

1r0pb в сообщении #900441 писал(а):

Хорошо. А если область ограничена линиями $xy=1,\ x+y=5/2,$ то какие будут пределы в новой системе координат? $1\leq v\leq 25/16,\ 2\leq u\leq 5/2\ ?$

Так неправильно же. Т.е. если для $u$ правильно, то для $v$ неправильно, и наоборот.

[ewert]

1r0pb в сообщении #901104 писал(а):

Точно?)

Точно. Если совсем уж лень думать, то формально опишите Вашу область системой из двух неравенств, выразите старые переменные через новые, подставьте в ту систему -- и получите формальное описание области в новых переменных.

[1r0pb]

Пусть $x-y=u,\ xy=v.$ Тогда $v\geq 1,\ \sqrt{{u}^{2}+4v}\leq \frac{5}{2}.$

[mishafromusa]

Да нет, $v=x-y$, опечатка же.

[1r0pb]

mishafromusa а за $u$ что? $x+y?$

[mishafromusa]

Ну да. Вообще я бы порекомендовал провести вычисления интеграла для всех замен переменных и сравнить их между собой.

[ewert]

Поворот на 45 градусов даёт единственное преимущество -- усложнение вычислений.

[ewert]

А, да:

1r0pb в сообщении #901118 писал(а):

Пусть $x-y=u,\ xy=v.$ Тогда $v\geq 1,\ \sqrt{{u}^{2}+4v}\leq \frac{5}{2}.$

Это вроде бы верно. Ну и расставляйте пределы и интегрируйте -- если хочется приключений.