Предел ФМП.

[main.c]

$f(x, y) = \frac{x^2y^2}{x^2y^2 + (x - y)^2}$
Нужно показать, что $\lim\limits_{x \to 0, \ y \to 0} f(x, y)$ не существует. Сначала я пробовал устремлять аргументы к нулю по множеству $y = kx$, при любом $k$ получил 0. Пробовал по параболе приближаться к точке $(0, 0)$, все равно 0. Не перебирать же мне все возможные функции? Если бы в задании не было сказано, показать, что предела не существует я бы с уверенностью решил, что предел равен 0.

[Otta]

main.c в сообщении #899671 писал(а):

при любом $k$ получил 0.

Не получится. Проверьте еще раз очень внимательно.

[Someone]

main.c в сообщении #899671 писал(а):

Сначала я пробовал устремлять аргументы к нулю по множеству $y = kx$, при любом $k$ получил 0.

Прямо при любом? Посмотрите на свои вычисления внимательнее. Если ничего не увидите, выложите их сюда. Вот и Otta о том же.

[Red_Herring]

В дополнение к тому, что написали Otta и Someone:
Числитель имеет 4й порядок малости, то же самое -- первый член в знаменателе. А вот второй член имеет 2й порядок малости, но … он может обратиться в 0! Когда?

[main.c]

Someone в сообщении #899677 писал(а):

main.c в сообщении #899671 писал(а):

Сначала я пробовал устремлять аргументы к нулю по множеству $y = kx$, при любом $k$ получил 0.

Прямо при любом? Посмотрите на свои вычисления внимательнее. Если ничего не увидите, выложите их сюда. Вот и Otta о том же.

Да, я уже понял, что при $k = 1$, предел равен 1, спасибо.

[main.c]

Не стал создавать новую тему, потому что по сути одно и то же. Нужно доказать, что:

$$f(x, y) = \begin{cases} \frac{\sin xy}{\sqrt{x^2 + y^2}}, &\sqrt{x^2 + y^2} \neq 0; \\ 0, &\sqrt{x^2 + y^2} = 0; \end{cases}$$

непрерывна в начале координат.
Фактически нужно доказать, что предел в (0, 0) равен 0. Вот с пределами ФМП у меня есть некоторое непонимание. Когда мы стремимся к предельной точке по какому-нибудь множеству - это ещё не значит, что предел существует. Мало того, даже когда таких множеств несчётное количество, это все равно ни о чём не говорит. Как в таком случае действовать? Это хорошо, что мне дано задание "докажите", то есть заведомо всё известно. А если бы мне сказали просто найти предел в (0, 0). Как тогда быть в таких заданиях. Находил пару примеров в учебнике, но они все сводятся к тому, что $\sqrt{x^2 + y^2}$ обозначается за $\rho$, затем всё выражется через это $\rho$ и считается предел ФОП. Но как быть тут? Разве $xy$ выражается через $\rho$?

[ewert]

$(x-y)^2\geqslant0\ \Rightarrow.$

[мат-ламер]

main.c в сообщении #900863 писал(а):

Разве $xy$ выражается через $\rho$?

Оно сверху (по модулю) ограничивается через него.

[1r0pb]

А если домножить и поделить на $xy,$ а потом воспользоваться тем, что $x\leq \sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}},\ y\leq \sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}.$