Вычисление якобиана при замене переменных

[1r0pb]

Здравствуйте!
У меня следующий вопрос:
вычисляю я двойной интеграл, делая замену переменных $x+y=u,\ xy=v.$ Все хорошо, но как получить $x=x(u,v),\ y=y(u,v)?$(получить могу, но там бяка получается)
Я читал про то, что якобианы $I=|\frac{D(x,y)}{D(u,v)}|,\ I*=|\frac{D(u,v)}{D(x,y)}|$ связаны соотношением $I=\frac{1}{I*}$ при условии, что $I*\neq 0.$ Но как обойтись без этого? В задании этого не предполагается, да и не знаю я док-ва сего утверждения.
Спасибо.

[ewert]

1r0pb в сообщении #900372 писал(а):

Но как обойтись без этого?

Никак: этот факт тривиален, и пользоваться им следует при каждом удобном случае.

[1r0pb]

ewert, а как показать? Хотя бы для двумерного случая.

[Munin]

Никакой бяки не получается. $x-y=\pm\sqrt{u^2-4v},$ откуда отдельно $x,y$ элементарно.

Показать интересующий вас факт - взять вектор $(dx,dy)^\mathrm{T},$ и посмотреть, какое преобразование с ним осуществляет матрица якобиана, и как выглядит обратное.

[ewert]

1r0pb в сообщении #900397 писал(а):

А как показать?

Это зависит от того, что Вам нужно: шашечки или ехать.

Если шашечки, то так сходу не скажу. А если ехать, то всё очень просто. По теореме об обратной функции (например) матрицы Якоби прямого и обратного преобразований тоже будут взаимно обратны. Якобианы же суть не что иное как определители матриц Якоби.

[Vince Diesel]

Или так: при отображении коэффициент растяжения объема — это якобиан. В обратную сторону во столько же раз ужаться должно.

[1r0pb]

Хорошо. А если область ограничена линиями $xy=1,\ x+y=5/2,$ то какие будут пределы в новой системе координат? $1\leq v\leq 25/16,\ 2\leq u\leq 5/2\ ?$

[Otta]

Если область ограничена такими (и только такими) линиями, то указанная замена противопоказана.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #900404 писал(а):

Если шашечки, то так сходу не скажу.

Шашечки тоже несложно. Матрица Якоби определляет наилучшее линейное приближение к данному отображению около данной точки. Если эта матрица обратима, то обратная матрица будет наилучшим линейным приближением к обратному отображению, которое существует по теореме об обратном отображении, если матрица Якоби непрерывна в окрестности данной точки. Если же мы и так знаем, что отображение обратимо (независимо от теоремы об обратном отображении), то всё сводится к проверке нескольких неравенств. Саму теорему об обратном отображении можно доказать, если проверить сходимость итераций в методе Ньютона. С геометрической точки зрения график отображения касается с графиком линейного отбражения, задаваемого матрицей Якоби. На эти графики можно посмотреть, как на графики соответствующих обратных отображений, и они конечно тоже будут касаться друг друга.

[g______d]

При композиции матрицы Якоби перемножаются (проверяется прямым вычислением). Если композиция равна тождественному отображению, то...

[mishafromusa]

g______d в сообщении #900485 писал(а):

(проверяется прямым вычислением).

Вот тут и придётся неравенства проверять

[g______d]

mishafromusa в сообщении #900496 писал(а):

Вот тут и придётся неравенства проверять

Какие неравенства? Нужна только формула для производной композиции.

[mishafromusa]

Munin в сообщении #900401 писал(а):

и как выглядит обратное.

Обратное будет выглядеть неважно около начала координат, и вообше около диагонали $x=y$.

-- 26.08.2014, 18:13 --

g______d в сообщении #900497 писал(а):

Нужна только формула для производной композиции.

Но для её доказательства тоже нужно неравенства проверять.

-- 26.08.2014, 18:25 --

1r0pb в сообщении #900441 писал(а):

Хорошо. А если область ограничена линиями $xy=1,\ x+y=5/2,$ то какие будут пределы в новой системе координат? $1\leq v\leq 25/16,\ 2\leq u\leq 5/2\ ?$

Правильно, но на линии $x=y$ якобиан нулевой. А что за интеграл-то надо вычислять? Может попробовать $u=x-y$?

[ewert]

mishafromusa в сообщении #900496 писал(а):

g______d в сообщении #900485 писал(а):

(проверяется прямым вычислением).

Вот тут и придётся неравенства проверять

Это у Вас любимая липшицева аберрация. Производные в операторном смысле перемножаются практически по определению в силу ровно тех же причин, что и в одномерном случае и без никаких неравенств (и без вычислений вообще). Ну а за ними автоматически перемножаются и их матрицы.

-- Ср авг 27, 2014 08:36:00 --

mishafromusa в сообщении #900483 писал(а):

Саму теорему об обратном отображении можно доказать, если проверить сходимость итераций в методе Ньютона.

Вот чего нельзя, того нельзя (для метода Ньютона нужны более жёсткие требования). Впрочем, читать эту тему мне предстоит лишь где-то через месяц, поэтому деталей я пока не помню; в этом и шашечки.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #900536 писал(а):

для метода Ньютона нужны более жёсткие требования

Но непрерывной дифференцируемости в окрестности данной точки уж точно хватит.