Осмыслить формулу

[Falex]

У меня получилась некая форма

$$ 2 \tilde P''(z)+(q_0^{(0)}-2q_2^{(2)}) P(z)=0, $$

где $\tilde P(z)=(q_2^{(2)}z^{2}+q_1^{(2)}z+q_0^{(2)}) P(z)=Q_2(z)P_m(z)$ --
некоторый новый многочлен степени $m+2$.

При этом $q_0^{(0)}=-m(m-1) q_2^{(2)}-m q_1^{(1)}$.

Интересно осмыслить это. Что можно выцепить "хорошего" их этой формулы?

[Falex]

может какое-нибудь свойство ортогональности многочлена $P_m(z)$?

[Falex]

См.
При $k=2$ у меня получается

$$ q_1^{(1)} = 4q_2^{(2)} ,q_0^{(1)} = 2q_1^{(2)}. $$

При $k=3$ получается

$$ \begin{array}{l} 2q_2^{(2)} = 6 \cdot 3 \cdot q_3^{(3)} ,2q_1^{(2)} = 6 \cdot 2 \cdot q_2^{(3)} ,2q_0^{(2)} = 6 \cdot 1 \cdot q_1^{(3)} ; \\ q_1^{(1)} = 6 \cdot 3 \cdot q_3^{(3)} ,q_0^{(1)} = 6q_2^{(3)} . \\ \end{array} $$

При $k=4$ получается

$$ \begin{array}{l} 6q_3^{(3)} = 24 \cdot 4 \cdot q_4^{(4)} ,6q_2^{(3)} = 24 \cdot 3 \cdot q_3^{(4)} ,6q_1^{(3)} = 24 \cdot 2 \cdot q_2^{(4)} ,6q_0^{(3)} = 24 \cdot 1 \cdot q_1^{(4)} ; \\ 2q_2^{(2)} = 24 \cdot 6 \cdot q_4^{(4)} ,2q_1^{(2)} = 24 \cdot 3 \cdot q_3^{(4)} ,2q_0^{(2)} = 24q_2^{(4)} ; \\ q_1^{(1)} = 24 \cdot 4 \cdot q_4^{(4)} ,q_0^{(1)} = 24q_3^{(4)} . \\ \end{array} $$

Я никак не могу получить эти формулы для произвольного $k$. Я полагаю,что должно быть что-то такое, но что скрывается за знаком ? не знаю ;(

$$ q_r^{(j)}=\frac{k!}{j!} \cdot ??? $$

где $j=1,\ldots,k-1$, $r=0,\ldots,j$.

[Falex]

Никак не могу найти закономерности (

[PAV]

Ваша тема не имеет начала. Правильно ли я понимаю, что это продолжение темы Осмыслить формулу? Обозначения вроде сходятся.

PAV:

Темы слиты в одну

[Falex]

PAV,да )
Я просто никак не могу увиделть общей формы ;(

Добавлено спустя 37 минут 48 секунд:

Я нашел эту формулу. Там за знаком ? скрывается бином Ньютона.
А не поможите ли мне осмыслить формулу из первого моего поста?