гильбертово пространство

[Oleg Zubelevich]

доказать, что если гильбертово пространство слабо полно то оно конечномерно

[g______d]

Не понял. Любое рефлексивное банахово же слабо полно?

[hippie]

В бесконечномерном пространстве со слабой топологией шар нигде не плотен.
Соответственно, такое пространство имеет в себе первую категорию, и, следовательно, не может быть полным.

[g______d]

hippie в сообщении #900043 писал(а):

Соответственно, такое пространство имеет в себе первую категорию, и, следовательно, не может быть полным.

Слабая топология не метризуема, к какому пространству Вы применяете теорему Бэра?

Oleg Zubelevich в сообщении #900033 писал(а):

доказать, что если гильбертово пространство слабо полно то оно конечномерно

Может быть, Вы что-то нестандартное имеете в виду под слабой полнотой? Последовательность $\{x_n\}$ называется слабо фундаментальной, если последовательность $(x_n,y)$ сходится к некоторому числу $L(y)$ для любого $y$. Любая слабо фундаментальная последовательность ограничена по норме (принцип равномерной ограниченности). Поскольку единичный шар слабо предкомпактен, некоторая подпоследовательность $\{x_{n_k}\}$ слабо сходится к некоторому $x$. Следовательно, $L(y)=(x,y)$.

[Oleg Zubelevich]

я имею в виду слабую полноту, а не секвенциально слабую полноту

[g______d]

А, теперь понял.

[Red_Herring]

Задача 30 главы 3 http://www.springer.com/mathematics/geometry/book/978-0-387-90685-0

[Oleg Zubelevich]

Red_Herring в сообщении #900125 писал(а):

Задача 30 главы 3 http://www.springer.com/mathematics/geometry/book/978-0-387-90685-0

Ну, конечно, задачи можно решать и таким способом Хочу только отметить, что факт выходит за рамки гильбертовых пространств: topic86045.html

[scwec]

А также задача 23 главы 2 ГПвЗ у П.Халмоша.

[Oleg Zubelevich]

Вот мне только странно, почему ни кто из "эрудитов", выучивших наизусть задачник, не ссылается на фундаментальную теорему, которая описывает пополнения локально выпуклого пространства по всевозможным топологиям равномерной сходимости? (например, Робертсоны Топологические векторные пространства).

Я поднял этот вопрос лишь потому, что общая теорема относительно сложна, а в данном специальном случае (который в некотором смысле предельный), можно получить результат "в лоб" и это легче воспринимается.

[scwec]

(Оффтоп)

Ну и хорошо. Эта тема не моя, и вопрос мне не очень интересен, но смолоду нравятся книги П.Халмоша. Когда-то действительно решал задачи из ГПвЗ.
Много воды утекло.