замыкание пространства

[Oleg Zubelevich]

Проверьте, плз, правильность следующих рассуждений.

Пусть $(E,\|\cdot\|)$ -- линейное нормированное пространство, хоть банахово -- не важно.
И $E'$ -- его топологически сопряженное, а $E^*$ -- алгебраически сопряженное, $E'\subset E^*$.
В пространстве $E^*$ введем топологию $\sigma(E^*,E)$. На пространстве $E'$ топологии $\sigma(E',E)$ и $\sigma(E^*,E)$ очевидно совпадают.

Утв. Замыкание пространства $E'$ в $E^*$ по топологии $\sigma(E^*,E)$ совпадает с $E^*$.

Док-во. Возьмем произвольный функционал $f\in E^*$. Рассмотрим множество конечномерных подпространств в $E$

$$A=\{L\subset E\mid\mathrm{dim}\,L<\infty\}$$

Это множество направлено по включению ,действительно, если $L_1,L_2\in A$ то $L=L_1+L_2\in A$ и $L_1,L_2\subset L$; кроме того любой элемент $x\in E$ принадлежит какому-нибудь подпространству из $A$, например , подпространству $\mathrm{span}\, \{x\}$.

По теореме Хана-Банаха для каждого $L\in A$ существует функционал $f_L\in E'$ такой, что $f_L(x)=f(x),\quad x\in L$.

Имеем $\lim_Af_L=f$.

[Oleg Zubelevich]

Рассуждение верное ,перепроверил.

Кроме того, пространство $(E^*,\sigma(E^*,E))$ полно. Суммирая, можно сказать, что пополнение пространства $(E',\sigma(E',E))$ совпадает с $E^*$. Не заню как для кого, а для меня факт удивительный. Особенно это хорошо сравнить с тем , что рефлесивное пространство секвенциально полно в топологии $\sigma(E',E)$.

-- Пн июл 07, 2014 12:50:02 --

тему можно закрывать