2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 замыкание пространства
Сообщение05.07.2014, 19:30 


10/02/11
6786
Проверьте, плз, правильность следующих рассуждений.

Пусть $(E,\|\cdot\|)$ -- линейное нормированное пространство, хоть банахово -- не важно.
И $E'$ -- его топологически сопряженное, а $E^*$ -- алгебраически сопряженное, $E'\subset E^*$.
В пространстве $E^*$ введем топологию $\sigma(E^*,E)$. На пространстве $E'$ топологии $\sigma(E',E)$ и $\sigma(E^*,E)$ очевидно совпадают.

Утв. Замыкание пространства $E'$ в $E^*$ по топологии $\sigma(E^*,E)$ совпадает с $E^*$.

Док-во. Возьмем произвольный функционал $f\in E^*$. Рассмотрим множество конечномерных подпространств в $E$
$$A=\{L\subset E\mid\mathrm{dim}\,L<\infty\}$$
Это множество направлено по включению ,действительно, если $L_1,L_2\in A$ то $L=L_1+L_2\in A$ и $L_1,L_2\subset L$; кроме того любой элемент $x\in E$ принадлежит какому-нибудь подпространству из $A$, например , подпространству $\mathrm{span}\, \{x\}$.

По теореме Хана-Банаха для каждого $L\in A$ существует функционал $f_L\in E'$ такой, что $f_L(x)=f(x),\quad x\in L$.

Имеем $\lim_Af_L=f$.

 Профиль  
                  
 
 Re: замыкание пространства
Сообщение07.07.2014, 12:43 


10/02/11
6786
Рассуждение верное ,перепроверил.

Кроме того, пространство $(E^*,\sigma(E^*,E))$ полно. Суммирая, можно сказать, что пополнение пространства $(E',\sigma(E',E))$ совпадает с $E^*$. Не заню как для кого, а для меня факт удивительный. Особенно это хорошо сравнить с тем , что рефлесивное пространство секвенциально полно в топологии $\sigma(E',E)$.

-- Пн июл 07, 2014 12:50:02 --

тему можно закрывать

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group