Замкнутое ограниченное множество.

[Someone]

Oleg Zubelevich в сообщении #900026 писал(а):

укоротим доказательство.

Пусть $A$ -- компакт

Это, конечно, замечательное доказательство, только топикстартер, очевидно, не знает про компакты, кроме того, что такое слово есть. И задача не случайно сформулирована не про компакты, а про замкнутые ограниченные множества в $\mathbb R^n$.

[main.c]

Someone в сообщении #900063 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #900026 писал(а):

укоротим доказательство.

Пусть $A$ -- компакт

Это, конечно, замечательное доказательство, только топикстартер, очевидно, не знает про компакты, кроме того, что такое слово есть. И задача не случайно сформулирована не про компакты, а про замкнутые ограниченные множества в $\mathbb R^n$.

Я знаю, что такое компакт. Просто у нас была теорема, что множество $A \subset R^n$ является компактом тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено. При доказательстве необходимости замкнутости мы лишь пользовались тем, что пространство хаусдорфово, а множество - компакт. А для доказательства ограниченности только тем, что множество - компакт. Это значит, что в произвольном метрическом пространстве, компакт - ограниченное и замкнутое множество (хотя возможно, что я ошибаюсь). А вот для доказательства достаточности мы сказали, что так как множество ограничено, то содержится в каком-то брусе, который является компактом. А замкнутое подмножество компакта - есть компакт. Но я не учёл, что о брусе можно говорить только в $R^n$, поэтому ошибочно сказал про произвольное хаусдорфово пространство.

[ewert]

main.c в сообщении #900153 писал(а):

А вот для доказательства достаточности мы сказали, что так как множество ограничено, то содержится в каком-то брусе, который является компактом.

Ну напрасно. Конечно, можно при доказательстве сослаться на одномерный результат, однако естественнее доказывать в лоб непосредственно для многомерного.

[main.c]

main.c в сообщении #899987 писал(а):

У меня не получается доказать его. Нам нужно доказать, что

$$\forall x_0 \in A, \forall\varepsilon > 0\ \exists \delta = \delta(\varepsilon) > 0: \rho(x, x_0) < \delta \Rightarrow |\inf\limits_{y \in B} \rho(x, y) - \inf\limits_{y \in B} \rho(x_0, y)| < \varepsilon $$

Для доказательства достаточно обойтись одним только неравенством треугольника? Или всё-таки какие-то дополнительные свойства нужно вывести? Дело в том, что напрямую из него непрерывность не следует.

Извините меня, если я достал Вас с этим топиком, но у меня будет спокойно на душе, если я пойму доказательство автора учебника. А он предлагает, доказать, что выше приведённая функция (имеется ввиду из цитаты в этом сообщении) непрерывна. Хочу сразу заметить, что это доказательство не такое же как то, которое свзяано с прямым произведением. Здесь всё происходит в том же самом пространстве и ничего лишнего не вводится. Так вот, я знаю обратное неравенство треугольника, но тут точные нижние грани, и я не понимаю, как мне с ними оперировать. Можно конечно бросить это задание, все равно уже решено, но суть то в том, что бы научиться решать, а не просто для галочки, поэтому разные доказательства по-моему лишь пойдут на пользу.

-- 26.08.2014, 12:41 --

ewert в сообщении #900160 писал(а):

main.c в сообщении #900153 писал(а):

А вот для доказательства достаточности мы сказали, что так как множество ограничено, то содержится в каком-то брусе, который является компактом.

Ну напрасно. Конечно, можно при доказательстве сослаться на одномерный результат, однако естественнее доказывать в лоб непосредственно для многомерного.

Разве $R^n$ - это одномерное пространство, немного не понял, что Вы имели ввиду под "одномерный результат".

[alcoholist]

main.c в сообщении #900165 писал(а):

но тут точные нижние грани

обратное неравенство, приведенное мною, верно для всех значений аргументов... а в Вашем заклинании

main.c в сообщении #900165 писал(а):

У меня не получается доказать его. Нам нужно доказать, что

$$\forall x_0 \in A, \forall\varepsilon > 0\ \exists \delta = \delta(\varepsilon) > 0: \rho(x, x_0) < \delta \Rightarrow |\inf\limits_{y \in B} \rho(x, y) - \inf\limits_{y \in B} \rho(x_0, y)| < \varepsilon $$

что-то не так

Имелось ввиду

$$\forall y\in B\quad\forall x \in A, \forall\varepsilon > 0\ \exists \delta = \delta(\varepsilon,x,y) > 0: \rho(x, x') < \delta \Rightarrow |\inf\limits_{y \in B} \rho(x, y) - \inf\limits_{y \in B} \rho(x', y)| < \varepsilon $$

я добавил аргументов в дельту т.к. равномерная непрерывность не требуется

[ewert]

main.c в сообщении #900165 писал(а):

Разве $R^n$ - это одномерное пространство, немного не понял, что Вы имели ввиду под "одномерный результат".

А почему, собственно, брусок компактен?... Единственная естественная причина -- это то, что он есть декартово произведение отрезков, компактность которых уже известна. При любом другом подходе никаких брусков не нужно.

-- Вт авг 26, 2014 14:06:31 --

alcoholist в сообщении #900172 писал(а):

main.c в сообщении #900165 писал(а):

У меня не получается доказать его. Нам нужно доказать, что

$$\forall x_0 \in A, \forall\varepsilon > 0\ \exists \delta = \delta(\varepsilon) > 0: \rho(x, x_0) < \delta \Rightarrow |\inf\limits_{y \in B} \rho(x, y) - \inf\limits_{y \in B} \rho(x_0, y)| < \varepsilon $$

что-то не так

Всё так. Единственный нюанс: вместо $\exists \delta = \delta(\varepsilon)$ следовало бы написать или $\exists \delta = \delta(x_0,\varepsilon)$, или попросту $\exists \delta$ (что эквивалентно). А так -- тоже верно, но неэстетично: ни два, ни полтора.

Нормальные герои всегда идут в обход, вот и автор этой рекомендации -- истинный герой. Он предлагает для решения задачи доказать и затем использовать тот факт, что расстояние от точки до множества есть функция, непрерывная в каждой точке. Цель сама по себе, конечно, святая; только вот эта теоремка существенно сложнее, чем исходная задачка.

[Oleg Zubelevich]

1

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #900230 писал(а):

ошибаетесь, более того, ограниченность в отличие от компактности, топологического смысла не имеетет.

main.c в сообщении #900153 писал(а):

метрическом

[Oleg Zubelevich]

и что?

[alcoholist]

Oleg Zubelevich
ну, описка у Вас)))

-- Вт авг 26, 2014 14:30:06 --

Oleg Zubelevich
ТС справедливо заметил, что в м.п. компакт ограничен и замкнут... он не утверждал обратное:)

-- Вт авг 26, 2014 14:31:19 --

тире в русском языке (наверное, в любом, где есть знаки препинания) означает "есть", а не "есть и только есть" (если перед этой фразой не стоит громкое слово ОПРЕДЕЛЕНИЕ)

[Oleg Zubelevich]

alcoholist в сообщении #900236 писал(а):

Oleg Zubelevich
ну, описка у Вас)))

-- Вт авг 26, 2014 14:30:06 --

Oleg Zubelevich
ТС справедливо заметил, что в м.п. компа

ой! а я именно почему-то решил, что он утверждает обратное

-- Вт авг 26, 2014 14:37:15 --

затер

[ewert]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #900242 писал(а):

ой! а я именно почему-то решил, что он утверждает обратное

это что-то заразное: мне, когда я первый раз увидел то сообщение ТС, почему-то тоже сперва почудилось что-то обратное, но я вовремя спохватился

[main.c]

ewert в сообщении #900181 писал(а):

А почему, собственно, брусок компактен?... Единственная естественная причина -- это то, что он есть декартово произведение отрезков, компактность которых уже известна. При любом другом подходе никаких брусков не нужно.

Ну не единственная, если в кратце, то мы доказываем так:
1. Покрываем множество.
2. Делим брус на $2^n$ частей, пополам по каждому координатному отрезку (если можно так выразиться).
3. Находим часть, из которой нельзя выделить конечное подпокрытие и переходим к шагу 2.
4. Полученная система вложенных брусов обязательно содержит общую точку.
5. Ну а продолжение такое же, когда мы доказываем, что отрезок компактен.

ewert в сообщении #900181 писал(а):

Нормальные герои всегда идут в обход, вот и автор этой рекомендации -- истинный герой. Он предлагает для решения задачи доказать и затем использовать тот факт, что расстояние от точки до множества есть функция, непрерывная в каждой точке. Цель сама по себе, конечно, святая; только вот эта теоремка существенно сложнее, чем исходная задачка.

Да, сам я доказательство придумать увы не смог, но доказательство которое приведено тут: http://dxdy.ru/topic86507.html, я не назвал бы сложным.

[ewert]

main.c в сообщении #900786 писал(а):

Ну не единственная, если в кратце, то мы доказываем так:
1. Покрываем множество.
2. Делим брус на $2^n$ частей, пополам по каждому координатному отрезку (если можно так выразиться).

и т.д. Да, это один из стандартных способов доказательства. Но Вы же ссылались на другое -- на то, что сам брусок компактен. Если этот факт считается известным, то никаких делений уже не нужно.

Можно доказать проще -- если уже известно, что компактность в смысле покрытий равносильна секвенциальной компактности в смысле Больцано-Вейерштрасса. Из любой последовательности выбираем подпоследовательность, сходящуюся по первой координате, из неё -- сходящуюся и по второй и т.д. Итого получаем подпоследовательность, сходящуюся по норме (равномерной), вот и всё.

main.c в сообщении #900786 писал(а):

доказательство которое приведено тут: topic86507.html
, я не назвал бы сложным.

Слишком сложно. На самом деле побороть инфимумы можно всего лишь в два шага:

$\rho(x_1,y)-\rho(x_2,y)\leqslant\rho(x_1,x_2)\ (\forall y\in A)\ \Rightarrow\ \rho(x_1,A)-\rho(x_2,y)\leqslant\rho(x_1,x_2)\ (\forall y),$

и если теперь выбрать последовательность $\{y_n\in A\}$, по которой $\rho(x_2,y_n)\to\rho(x_2,A)$, то

$\rho(x_1,A)-\rho(x_2,y_n)\to\rho(x_1,A)-\rho(x_2,A)\ \Rightarrow\ \rho(x_1,A)-\rho(x_2,A)\leqslant\rho(x_1,x_2),$

а в силу равноправия $x_1$ и $x_2$ можно слева и модуль поставить. Вообще эпсилонов-дельт следует всячески избегать, вот и тут они совершенно не обязательны.

Так что доказательство действительно очень простое; но, как показывает Ваша же ссылка, эта простота не так уж и очевидна. В отличие от апелляции к Больцано-Вейерштрассу, где всё прозрачно с самого начала.