Замкнутое ограниченное множество.

[ewert]

Someone в сообщении #899929 писал(а):

если $(X,\rho)$ — метрическое пространство, $A,B\subset X$ — непустые дизъюнктные замкнутые множества, хотя бы одно из которых компактно, то $\rho(A,B)>0$.

Это да. А вот что расстояние между ними достигается (из чего формально следовало бы предыдущее утверждение) -- уже нет. Хотя это в данной теме баловство, конечно.

[main.c]

Someone в сообщении #899895 писал(а):

1) Предполагая противное, то есть, что $\rho(A,B)=\inf\{\rho(x,y):x\in A,y\in B\}=0$, строим последовательность пар точек $(x_m,y_m)$, где $x_m\in A$, $y_m\in B$, удовлетворяющих условию $\rho(x_m,y_m)<\frac 1m$ для всех $m\in\mathbb N$.

Позвольте поинтересоваться, правильно ли я всё понял. После этого шага у нас есть некоторая ограниченная последовательность $\{x_m\}$, из неё мы выделяем подпоследовательность $\{x_k\}$, которая сходится к какой-то точке $a$, так как $$\rho(x_k,y_k) \to 0$, то $y_k \to a$, а это значит, что $a$ является предельной точкой обоих множеств, а так как они замкнуты, то это их общая точка, пришли к противоречию.

[ewert]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #899942 писал(а):

вообще это замечание Someone
, самая хорошая вещь, которая была здесь сказана

Вы, между прочим, тоже неплохо начинали:

Oleg Zubelevich в сообщении #899747 писал(а):

Есть два компакта $A,B$. Пусть $d(x_n,y_n)\to inf,\quad \{x_n\}\subseteq A,\quad \{y_n\}\subseteq B$ . Выделим сходящуюся подпоследовательность $\{x_{n_j}\}$ а потом еще выделим сходящуюся подпоследовательность из последовательности $\{y_{n_j}\}$, скажем $y_{n_{j_{s}}}$.

Но вот закончили -- не приведи господь.

[main.c]

До последнего момента не хотел смотреть ответ, сейчас заглянул и вот, что там написано:

Цитата:

Указание. Покажите, что для любых 2 множеств $A, B \subset R^n$ функция $\varphi : A \to R, \ \varphi(x) = \inf\limits_{y \in B} \rho(x, y)$ непрерывна.

Ну а из этого следует, что утверждение автоматическе верно. Оказыватся всё было ещё проще. Хотя после всех изысканий, что я тут прочитал, я уже не соображаю даже, как мне доказать, что данное отображение непрерывно.

[ewert]

main.c в сообщении #899963 писал(а):

Указание. Покажите, что для любых 2 множеств $A, B \subset R^n$ функция $\varphi : A \to R, \ \varphi(x) = \inf\limits_{y \in B} \rho(x, y)$ непрерывна.

Бессмысленное указание. Оно требует сослаться на более сложное утверждение, чем исходно заданное.

[main.c]

ewert в сообщении #899965 писал(а):

main.c в сообщении #899963 писал(а):

Указание. Покажите, что для любых 2 множеств $A, B \subset R^n$ функция $\varphi : A \to R, \ \varphi(x) = \inf\limits_{y \in B} \rho(x, y)$ непрерывна.

Бессмысленное указание. Оно требует сослаться на более сложное утверждение, чем исходно заданное.

А можно по-подробней, какое именно? Больно уж любопытно.

[alcoholist]

main.c в сообщении #899529 писал(а):

Я так понимаю, что Вы подразумевали, вот такое отображение: $\rho: A \times B \to R$.

нет, имеется ввиду, насколько я понял, расстояние до множества... а тут уже никаких прямых произведений не надо

-- Пн авг 25, 2014 23:35:36 --

вот-вот... в "Указании" это и сказано

[Someone]

main.c в сообщении #899956 писал(а):

Позвольте поинтересоваться, правильно ли я всё понял.

Правильно. Но доказательство нужно изложить аккуратно. Впрочем, я же не знаю, какой уровень строгости от Вас требуется.

ewert в сообщении #899944 писал(а):

А вот что расстояние между ними достигается (из чего формально следовало бы предыдущее утверждение) -- уже нет.

Такой задачи и не было.

main.c в сообщении #899967 писал(а):

А можно по-подробней, какое именно?

Что "какое именно"? Более сложное утверждение? Вы же сами его процитировали.

[alcoholist]

А указание ewert
на бессмысленность... так в евклидовом же пространстве всё происходит

[g______d]

alcoholist в сообщении #899980 писал(а):

так в евклидовом же пространстве всё происходит

Вот, как раз хотел про это написать. Если по условию даны подмножества $\mathbb R^n$, то для решения не нужно ничего, кроме утверждения "непрерывная функция на замкнутом и ограниченном подмножестве $\mathbb R^{2n}$ достигает своего минимума". Ну да, еще то, что произведение замкнутых замкнуто.

[Someone]

g______d, по второму кругу хотите это обсудить?

[main.c]

Someone в сообщении #899979 писал(а):

main.c в сообщении #899956 писал(а):

Позвольте поинтересоваться, правильно ли я всё понял.

Правильно. Но доказательство нужно изложить аккуратно. Впрочем, я же не знаю, какой уровень строгости от Вас требуется.

ewert в сообщении #899944 писал(а):

А вот что расстояние между ними достигается (из чего формально следовало бы предыдущее утверждение) -- уже нет.

Такой задачи и не было.

main.c в сообщении #899967 писал(а):

А можно по-подробней, какое именно?

Что "какое именно"? Более сложное утверждение? Вы же сами его процитировали.

У меня не получается доказать его. Нам нужно доказать, что

$$\forall x_0 \in A, \forall\varepsilon > 0\ \exists \delta = \delta(\varepsilon) > 0: \rho(x, x_0) < \delta \Rightarrow |\inf\limits_{y \in B} \rho(x, y) - \inf\limits_{y \in B} \rho(x_0, y)| < \varepsilon $$

Для доказательства достаточно обойтись одним только неравенством треугольника? Или всё-таки какие-то дополнительные свойства нужно вывести? Дело в том, что напрямую из него непрерывность не следует.

[g______d]

Someone в сообщении #899984 писал(а):

g______d, по второму кругу хотите это обсудить?

Почему бы и нет? Я просто так и не понял, где именно прозвучало, что речь идет о достижении максимума минимума совершенно конкретной (и очевидно непрерывной) функции $\|x-y\|$ на замкнутом подмножестве $\mathbb R^{2n}$. Хотя два раза тему прочитал.

[alcoholist]

main.c в сообщении #899987 писал(а):

Для доказательства достаточно обойтись одним только неравенством треугольника?

обратным неравенством треугольника:)) $|\rho(x,y)-\rho(x',y)|\le\rho(x,x')$
$\delta=\varepsilon$

[Oleg Zubelevich]

Someone в сообщении #899929 писал(а):

утверждение: если $(X,\rho)$ — метрическое пространство, $A,B\subset X$ — непустые дизъюнктные замкнутые множества, хотя бы одно из которых компактно, то $\rho(A,B)>0$

укоротим доказательство.

Пусть $A$ -- компакт, а $B$ -- замкнуто. Для всякой точки $x\in A$ построим открытый шар $B_r(x)=\{y\in X\mid\rho(y,x)<r\},\quad r=r(x)>0$ такой, что $B_{2r}(x)\cap B$ -- пусто, это возможно в силу замкнутости $B$. Выделяем конечное покрытие из $\{B_r(x)\}$ ...