Уравнение теплопроводности с нетривиальными нач. условиями

[Nerdniwe]

Так это... С функцией Грина-то что делать? У меня пока получается, что саму задачу, начальные условия и часть граничных удобней записывать в сферических, а оставшуюся часть граничных - в полярных координатах.

В векторном виде как-то вообще неясно, как со всем этим работать.

Вообще, не знаете, может где-нибудь есть описание решения ур-я теплопроводности для шара, помещенного в куб, например?

[Vince Diesel]

В виде конечного числа слагаемых сомневаюсь. Я не знаю, имеется ли уже для шара такая формула. Есть общая формула представления функци Грина как ряд по собственным функциям соотв. эллиптической задачи. Но опять же, нашел ли их кто для такого тела (выписываются ли они через спецфункции?) и устроит ли вас решение в виде ряда?

[Nerdniwe]

Для шара есть, конечность слагаемых не обязательна.

А эллиптическое-то зачем?

Алгоритм поиска собственных функций тоже не помешал бы.

[Munin]

Vince Diesel в сообщении #899601 писал(а):

В виде конечного числа слагаемых сомневаюсь.

Да почему же, почему? Для уравнения Лапласа есть, а тут в чём беда?

[Vince Diesel]

Для Лапласа, если взять один фиктивный заряд, то окажется, что он в точности компенсирует источник на заданной сфере. Но это неочевидно вообще-то. Из серии притяжение сферы равно притяжению точки. А если взять фиктивный источник тепла, то что он компенсирует исходный источник на всем цилиндре настолько неочевидно, что как-то уже и сомнительно

Nerdniwe в сообщении #899733 писал(а):

А эллиптическое-то зачем?

Если известны ортонормированные с.ф. $\{\varphi_n(x)\}$ и с.з. $\{\lambda_n\}$ соотв. эллиптической задачи, то функция Грина (для цилиндрической области) записывается в виде

$$ G(x,y,t)=\sum_{n=1}^\infty \varphi(x)\varphi(y)e^{-\lambda_nt}. $$

А какова исходная постановка задачи, найти обязательно в виде формулы решение, или численно можно?

[Nerdniwe]

Хм, справедливо. Так понимаю, решение эллиптической задачи находится для нулевых граничных условий?

По требованию - в идеале в виде формулы, но численное файн ту.

[Vince Diesel]

Nerdniwe в сообщении #899859 писал(а):

Так понимаю, решение эллиптической задачи находится для нулевых граничных условий?

Да. Тех же краевых условий, что и для теплопроводности.

[Nerdniwe]

Оки

[Vince Diesel]

Численно можно попробовать искать решение с помощью потенциала двойного слоя. Для уравнения Лапласа часто так решают. Плюс в том, что нахождение решения в области сводится к решению интегрального уравнения на поверхности. А там дискретизация и система линейных уравнений.

[Nerdniwe]

Vince Diesel
О, спасибо!

[worm2]

Vince Diesel в сообщении #899890 писал(а):

А там дискретизация и система линейных уравнений.

Зато не разрежённая
Насколько я слышал, для изначально трёхмерных задач из-за этого она сложнее решается.