Кривизна пространства вселенной в локально галилеевой СО

[Lvov]

Не увидев рассмотрения излагаемого ниже вопроса в литературе, предлагаю обсудить его на форуме.

В 1922г А.А.Фридманом разработана теоретическая модель нестационарной вселенной. Ее математическое описание дается в глобальной системе координат, в которой пространство представляется в виде 3d-сферы с изменяющимся радиусом кривизны. Из решения Фридмана следует, что скалярная кривизна пространства является функцией плотности распределения материи и относительной скорости расширения пространства, называемой постоянной Хаббла, и в общем случае может иметь как положительное, так и отрицательное значение.
Между тем реальные астрономические наблюдения производятся не в глобальной, а в локальной евклидовой геодезической системе пространственных координат, в которой мы регистрируем разлетающиеся галактики в статическом пространстве. Согласно ОТО в окрестности любой точки 4-пространства (точки наблюдения) и даже вдоль некоторой произвольной кривой всегда можно выбрать локально галилееву СО, в которой пространственные метрические коэффициенты с высокой точностью равны символам Кронекера со знаком минус $g_{ik}=-\delta_{ik},$ а временная компонента $g_{00}=1.$
В простейшем случае однородного пространства квадрат 4-интервала вдоль оси абсолютного времени может быть представлен в следующей канонической форме

$$ds^2=dx_0^2 + \sum _{i=0}^3 b\,x_0\,x_idx_0 dx_i - \sum _{i=1}^3 dx_i^2 + \sum_{i=1}^3 \, \sum_{j=1}^3 a\, x_i x_j\,dx_i dx_j \quad \text {где}\,\, x_j=0\, \text {при}\,\, j=i.$$

Эдесь $x_0=ct.$ Началу координат отвечают значения переменных $x_0=x_1=x_2=x_3=0.$
Величина $a$ связана с радиусом вселенной, а величина $b$ - со скоростью его изменения.

Определим связь скалярной кривизны 3-пространства $P$ в локально геодезических координатах с плотностью распределения пылевидной материи. Далее латинскими буквами обозначены пространственные индексы, а греческими буквами как пространственные, так и временные индексы 4-пространсттва Минковского. Прежде всего заметим, что в рассматриваемом случае компоненты тензора кривизны Римана 3-пространства $P_{ijkl}$ и соответствующие коэффициенты тензора 4-пространства $R_{ijkl}$ совпадают, поскольку они выражаются через единые метрические коэффициенты:

$$P_{ijkl}=R_{ijkl}=\frac 1 2 \left(\frac {\partial^2 g_{il}} {\partial x^j \partial x^k} + \frac {\partial^2 g_{jk}} {\partial x^i \partial x^l} - \frac {\partial^2 g_{ik}} {\partial x^j \partial x^l} - \frac {\partial^2 g_{jl}} {\partial x^i \partial x^k} \right),\qquad (1)$$

Здесь учтено равенство нулю символов Кристоффеля $\Gamma^\alpha_{\beta\gamma}=0$ в геодезической системе координат. Также совпадают коэффициенты тензора Риччи 3-пространства $P_{ij}$ с соответствующими коэффициентами тензора Риччи $R_{ij}$ 4-пространства, поскольку первые и вторые коэффициенты получаются сверткой одинаковых компонент единого тензора Римана.

Вычислим в той же СО компоненту $R^{\text {Э}}_{00}$ тензора кривизны Эйнштейна, фигурирующего в основном уравнении ОТО.

$$ R^{\text {Э}}_{00}=R_{00} - \frac 1 2 g_{00} R = R_{00} - g_{00} g^{\alpha\beta}R_{\alpha\beta}=$$

$$= R_{00} - \frac 1 2 g_{00} (g^{0\beta}R_{0\beta} + g^{\alpha 0}R_{\alpha 0} + g^{ik}R_{ik})=$$ $$= R_{00} - \frac 1 2 (2\, R_{00} + g^{ik}R_{ik}) = P. \qquad (2) $$

Здесь во второй строке общая свертка тензора Римана 4-пространства разделяется на свертки с пространственно-временными и чисто пространственными метрическими коэффициентами. В последней строке подставляются числовые значения метрических коэффициентов, производится сокращение коэффициентов $R_{00}$, и последняя свертка заменяется скалярной кривизной 3-пространства.

Учитывая основную формулу ОТО $R^{\text {Э}}_{00}=8 \pi k\, T_{00} /c^2,$ получаем выражение, связывающее скалярную кривизну пространства с плотностью распределения пылевидной материи $P= 8 \pi k \mu/c^2,$ где k - гравитационная постоянная и $\mu$ - плотность распределения материи.

Полученный результат противоречит известному выражению Фридмана [Л-Л, Т.2, 2003, (114.13 - 114.16)], где радиус кривизны вселенной определяется как плотностью материи, так и скоростью расширения вселенной. Дело здесь в том, что система координат Фридмана, не является геодезической, о чем свидетельствует отличие от нуля во всем пространстве символов Кристоффеля (см. Л-Л, параграф 112). В фридмановой системе координат в случае изменения радиуса вселенной привносится дополнительная кривизна пространства, связанная с не оптимальным выбором системы пространственно-временных координат.
Поясним сказанное на наглядном примере расширяющейся двумерной сферической поверхности. Очевидно, ее скалярная кривизна в некоторый момент времени в произвольной точке определяется пространственными компонентами метрического тензора в геодезической системе координат (например, квазиевклидовых), и никак не связана со скоростью расширения рассматриваемой поверхности.

Таким образом, скалярная кривизна пространства вселенной, а вместе с тем и радиус кривизны, при выборе канонической системы отсчета, т.е. локально галилеевой системы координат, зависят лишь от плотности распределения материи, и не зависят от скорости разбегания галактик. При этом наблюдатель при любой плотности материи в своей окрестности всегда наблюдает положительную кривизну вселенной, что в общем случае не отвечает замкнутости вселенной при ее описании в глобальной системе координат.