Уравнение теплопроводности с нетривиальными нач. условиями

[Nerdniwe]

Была поставлена вот такая задача.

$\alpha \frac{\partial^2 u(r,t)}{\partial r^2}+\frac{2\alpha}{r} \frac{\partial u(r,t)}{\partial r}=\frac{\partial u(r,t)}{\partial t}$

$u(r,t=0)=T_0$
$u(r=r_0,t)=f(t)$
$u(r=R,t)=T_0$

Решение получено, все хорошо. Следующий этап: заменить последнее из начальных условий так, чтобы $T_0$ оставалась неизменной не на сфере радиуса R, а на некоторой плоскости. Подскажите пожалуйста, как это сделать, чтобы уравнение после этого оставалось решаемым.

Из проделанных вариантов решения была попытка перехода из сферической системы координат в декартову, однако ни к чему более-менее внятному это не привело. С переходом в комплексные тоже. Собственно, проблема заключается в подборе замены, позволяющей преобразовать условие $u(r=R,t)=T_0$ из сферы в плоскость, не увеличивая при этом число неизвестных.

Заранее спасибо :)

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

1. Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы". Картинку уберите.

2. Приведите свои попытки решения и/или укажите конкретные затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Munin]

Во-первых, сделайте ручкой сферической системе координат. Задача будет существенно двумерной, а не одномерной.

Во-вторых, облегчить решение поможет метод отражений (изображений).

[Nerdniwe]

Munin
Таки-в Декарта переходить?

А про метод изображений прочитаю, спасибо) В нашем церковно-приходском матфаке про него даже не упоминали(

[Munin]

Nerdniwe в сообщении #891371 писал(а):

Таки-в Декарта переходить?

Ну как промежуточный этап. Потом может пригодиться какая-нибудь осесимметричная система координат.

[Vince Diesel]

Nerdniwe в сообщении #891311 писал(а):

Следующий этап: заменить последнее из начальных условий так, чтобы $T_0$ оставалась неизменной не на сфере радиуса R, а на некоторой плоскости.

Откуда там сферы? Есть же две переменные $r$ и $t$. А если рассматривать это как сферически-симметричные решения в пространстве большей размерности, то какие основания ожидать, что решение со вторым условием на плоскости будет тоже зависить лишь от $r,t$? Или неявно предполагается, левая часть это оператор Лапласа?

[Munin]

Vince Diesel в сообщении #891567 писал(а):

Или неявно предполагается, левая часть это оператор Лапласа?

Ага, довольно явно - поскольку сказано "уравнение теплопроводности".

[Vince Diesel]

Вычитая из решения $T_0$ можно свести все к случаю, когда начальное и одно из граничных условий равно нулю. Однако есть ли какие-либо основания полагать, что для полупространства с вырезанным шаром можно явно выписать решение? Или функцию Грина?

[Munin]

Vince Diesel в сообщении #891713 писал(а):

Однако есть ли какие-либо основания полагать, что для полупространства с вырезанным шаром можно явно выписать решение?

Ну для уравнения Лапласа-то можно? По случайному совпадению.

[Nerdniwe]

Vince Diesel
С шаром-то оно решается. А насчет аналитической решабельности уравнения с плоскостью я не знаю. :(


Munin
Ок, будем пробовать

[Munin]

Осесимметричную систему координат не надо. Я пролистал Джексона (2-я глава, электростатика), и понял, что нужно решать в векторном виде, безо всяких координат.

[Nerdniwe]

У меня тут идея появилась - представить область в виде шара со "срезанным" верхом. Тогда уравнение вполне хорошо записывается в сферических координатах, а решение - через тройной интеграл.

Вот только с функцией Грина проблема вышла. Для произвольного случая не умею строить( Посоветуйте почитать что-нибудь, пожалуйста.

[Vince Diesel]

Munin в сообщении #891811 писал(а):

Ну для уравнения Лапласа-то можно? По случайному совпадению.

Для уравнения теплопроводности уже для шара есть ли замкнутый вид (не разложение в ряд по собственным функциям)? Для Лапласа есть в виде двух слагаемых. Используется метод отражений и преобразование Кельвина. Для уравнения теплопроводности тоже есть какой-то аналог преобразования Кельвина, но там знак времени меняется что ли.

[Munin]

В Джексоне, кажется, без преобразований Кельвина, только парой мнимых точечных зарядов обошлись.