всюду гладкая нигде не аналитическая функция

[kp9r4d]

Существует ли всюду гладкая нигде не аналитическая функция?

[Oleg Zubelevich]

легко показать что множество функций голоморфных хотя-бы в одной точке $\mathbb{R}$ является множеством первой категории Бэра в пространстве $C^\infty(\mathbb{R})$. Последнее есть полное метрическое пространство.

[Red_Herring]

На самом деле существуют промежуточные пространства, например, Жевре, состоящие из функций т.ч.
$|f^{(n)}(x)|\le CR^n (n!)^\alpha$ $\forallx \, \forall n\ge 0$ ($1<\alpha<\infty$). В этих пространствах есть разбиения единицы, как и в $C^\infty$.

[Oleg Zubelevich]

Red_Herring в сообщении #898095 писал(а):

В этих пространствах есть разбиения единицы

и как отсюда следует существование ни в одной точке не голоморфной функции?

[Red_Herring]

Oleg Zubelevich в сообщении #898100 писал(а):

и как отсюда следует существование ни в одной точке не голоморфной функции?

Просто хотелось объяснить что есть большой зазор между аналитическими и $C^\infty$ и популяризировать классы Жевре, полезные кстати в некоторых задачах УЧП.

Явная конструкция такой функции (всюду гладкой и нигде не аналитической) есть, напр, в
http://en.wikipedia.org/wiki/Non-analytic_smooth_function#A_smooth_function_which_is_nowhere_real_analytic
Ее можно легко модифицировать построив функцию, которая везде принадлежит классу Жевре с показателем $\alpha$ и нигде с меньшим показателем.

[Nemiroff]

topic38591.html

[Oleg Zubelevich]

Red_Herring в сообщении #898106 писал(а):

Явная конструкция такой функции (всюду гладкой и нигде не аналитической) есть, напр, в

я не против явной конструкции, я хотел узнать как из теоремы о рабиении единицы следует данный факт

[Red_Herring]

Oleg Zubelevich в сообщении #898108 писал(а):

не против явной конструкции, я хотел узнать как из теоремы о рабиении единицы следует данный факт

Если Вы ссылаетесь на теорему Бэра, то Вам придется доказывать что существуют гладкие но не аналитические функции. Разбиение единицы показывает, чтои существуют Жевреевские, но не аналитические.

[Oleg Zubelevich]

Red_Herring в сообщении #898112 писал(а):

Разбиение единицы показывает, чтои существуют Жевреевские, но не аналитические.

формулируйте пожалуйста аккуратно. если под фразой "не аналитические" Вы пордразумеваете "ни где не аналитические", то это как раз то, что я тщетно прошу Вас вывести из теоремы о разбиении единицы. Если "не аналитические" означает "в некоторох точках $\mathbb{R}$ ряд Тейлора расходится", то это наблюдение тривиальное, к стартовому посту отношения не имеет.

-- Чт авг 21, 2014 16:27:07 --

Red_Herring в сообщении #898112 писал(а):

Если Вы ссылаетесь на теорему Бэра, то Вам придется доказывать что существуют гладкие но не аналитические функции

тоже самое: формулируйте аккуратно. Во всяком случае, из того утверждения, что я сформулировал выше, ответ на вопрос задачи следует сразу по теореме Бэра, без каких-либо дополнительных рассуждений.

[Red_Herring]

"Неаналитическая" означает: "не являющаяся аналитической хотя бы в одной точке". И это общепринятое определение, поскольку "аналитическая" означает "аналитическая в любой точке".

Oleg Zubelevich в сообщении #898117 писал(а):

Если "не аналитические" означает "в некоторох точках $\mathbb{R}$ ряд Тейлора расходится"

Кстати, из сходимости ряда Тейлора в каждой точке не следует аналитичность функции. Например у $e^{-|x|^{-1}}$ ряд Тейлора в любой ее точке сходится на ненулевом интервале (зависящем от точки) В $x=0$ она по непрерывности $0$.

[Oleg Zubelevich]

простите, я не понял, Вы собираетесь выводить ответ на вопрос стартового поста из теоремы о разбиении единицы или Вы просто напомнили про эту теорему окружающим безотносительно данной задачи?

-- Чт авг 21, 2014 16:55:07 --

Red_Herring в сообщении #898126 писал(а):

Кстати, из сходимости ряда Тейлора в каждой точке не следует аналитичность функции.

кстати я этого и не утверждал

[Red_Herring]

Oleg Zubelevich в сообщении #898130 писал(а):

простите, я не понял, Вы собираетесь выводить ответ на вопрос стартового поста из теоремы о разбиении единицы или Вы просто напомнили про эту теорему окружающим безотносительно данной задачи?

Просто напомнил