резольвента интегрального уравнения

[ecartman]

Здравствуйте!
Имеется следующее интегральное уравнение:

$$ u(x,A) = 1+\theta^{-1}(1+\theta)^{-1/\theta}(1+x)^{1+1/\theta}\int_{(1+x)/(1+\theta)}^Ay^{-2-1/\theta}\,u(y,A)\,dy, $$

где $\theta,A>0$ - константы, и $x>-1$. Это сложное на вид уравнение имеет простое решение:

$$ u(x,A)=1+(1+\theta)\left(A-\frac{1+x}{1+\theta}\right) $$

если $A>(1+x)/(1+\theta)$, и $u(x,A)=1$ в противном случае. В этом я уверен полностью, т.к. проверил прямой подстановкой и кроме того это абсолютно ожидаемый ответ зная физический смысл задачи.

Теперь пусть имеется уравнение:

$$ v(x,A) = x+\theta^{-1}(1+\theta)^{-1/\theta}(1+x)^{1+1/\theta}\int_{(1+x)/(1+\theta)}^Ay^{-2-1/\theta}\,v(y,A)\,dy, $$

т.е. то же самое ядро что и у первого уравнения, только 1 в правой части заменяется на $x$. Пытаюсь найти решение этого уравнения используя решение первого уравнения. Идея - использовать тот факт что ядра уравнений одинаковы, поэтому резольвента первого и второго уравнений одна и та же. А зная решение первого уравнения можно явно найти резольвенту.

Если $\Gamma(x,y)$ - резольвента первого уравнения в том смысле что решение первого уравнения имеет вид:

$$ u(x,A) = 1+\int_0^A\Gamma(x,y)\,dy, $$

то зная что

$$ u(x,A) = 1+\int_{(1+x)/(1+\theta)}^A dy $$

можно сразу найти резольвенту - это индикатор того, что $y>(1+x)/(1+\theta)$.
Далее, решением второго уравнения соответственно будет:

$$ v(x,A) = x+\int_0^A\Gamma(x,y)\,y\,dy, $$

однако получаемый таким образом ответ не удовлетворяет уравнению на $v(x,A)$. Видимо я неверно нашел резольвенту, но я в упор не вижу ошибки. Буду признателен любой помощи.

Спасибо.

[ecartman]

В продолжение темы: мне удалось получить решение в виде следующего ряда:

$$ \sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k!}\prod_{j=1}^{k-1}\sum_{i=0}^j q^i, $$

где $q\in(0,1)$, и $\prod_i^j=1$ для $j<i$. Т.е. коэффициенты зависят от произведений элементов последовательности частичных сумм геометрической прогрессии. Кто-нибудь видел что-нибудь подобное? Не является ли это какой-нибудь специальной функцией? Пытаюсь упростить, но пока ничего определенного не получается. Буду признателен любой помощи.

Спасибо.

[ИСН]

Подобное видел, во: http://mathworld.wolfram.com/q-Factorial.html

-- менее минуты назад --

(там нет ничего полезного, кроме узнать, как это называется)

[sergei1961]

Похоже на ку-гипергеометрическую функцию. Вроде Ваше решение простого уравнения-линейная функция. Поэтому её производная число, и взяв производную в этом уравнении получаем тождество. Тогда взяв производную во втором с учётом указанного тождества не получается, что решение тоже линейное? Тогда его можно найти подстановкой.

Кратко: мне кажется, что оба Ваши уравнения имеют линейных решения, их можно найти подстановкой. Без резольвенты. Если добавить не $x$, а что-то ещё скажем $x^2$, то это уже не так. Тогда нужна резольвента-это более сложная задача.

Ещё похоже что делением на степень и заменами уравнение можно свести к дифференциально-разностному. Не знаю проще ли станет без интегралов, на вид-короче.

[ecartman]

sergei1961 в сообщении #744105 писал(а):

Похоже на ку-гипергеометрическую функцию. Вроде Ваше решение простого уравнения-линейная функция. Поэтому её производная число, и взяв производную в этом уравнении получаем тождество. Тогда взяв производную во втором с учётом указанного тождества не получается, что решение тоже линейное? Тогда его можно найти подстановкой.

Кратко: мне кажется, что оба Ваши уравнения имеют линейных решения, их можно найти подстановкой. Без резольвенты. Если добавить не $x$, а что-то ещё скажем $x^2$, то это уже не так. Тогда нужна резольвента-это более сложная задача.

Ещё похоже что делением на степень и заменами уравнение можно свести к дифференциально-разностному. Не знаю проще ли станет без интегралов, на вид-короче.

sergei1961, к сожеланию, линейности тут не будет, даже при том, что 1 в правой части заменяется на $x$.

ИСН в сообщении #744005 писал(а):

Подобное видел, во: http://mathworld.wolfram.com/q-Factorial.html

-- менее минуты назад --

(там нет ничего полезного, кроме узнать, как это называется)

Спасибо, ИСН.

Вообще, что-то тут "не чисто". Попробую полностью привести свое решение, может быть кто-то укажет на ошибку. Пусть требуется решить уравнение:

$$ \psi(x,A) &= x+\theta^{-1}(1+\theta)^{-1/\theta}(1+x)^{1+1/\theta}\int_{(1+x)/(1+\theta)}^Ay^{-2-1/\theta}\,\psi(y,A)\,dy, $$

где $\theta,A>0$. Решение требуется на интервале $x\in[0,\infty)$. Понятно, что при $(1+x)/(1+\theta)>A$, инграл в правой части будет 0, и ответ будет просто $\psi(x,A)=x$. Поэтому допустим $(1+x)/(1+\theta)>A$ и продифф. обе части уравнения по $x$. Имеем:
\begin{center}\begin{multline*} \frac{\partial}{\partial x}\psi(x,A)=1+ \theta^{-1}(1+\theta)^{-1/\theta}\left\{\left(\frac{d}{dx}(1+x)^{1+1/\theta}\right)\int_{(1+x)/(1+\theta)}^Ay^{-2-1/\theta}\,\psi(y,A)\,dy\right.\\ \quad\quad\quad\left.+(1+x)^{1+1/\theta}\left(\frac{d}{dx}\int_{(1+x)/(1+\theta)}^Ay^{-2-1/\theta}\,\psi(y,A)\,dy\right)\right\}\\ \quad\quad\quad=1+ \theta^{-1}(1+\theta)^{-1/\theta}\left\{\frac{1+\theta}{\theta}(1+x)^{-1}(1+x)^{1+1/\theta}\int_{(1+x)/(1+\theta)}^Ay^{-2-1/\theta}\,\psi(y,A)\,dy\right.\\ \quad\quad\quad\left.-(1+x)^{1+1/\theta}\frac{1}{1+\theta}\left(\frac{1+x}{1+\theta}\right)^{-2-1/\theta}\,\psi\left(\frac{1+x}{1+\theta},A\right)\right\}\\ =1+\frac{1+\theta}{\theta}\frac{1}{1+x}\left[\psi(x,A)-1-\psi\left(\frac{1+x}{1+\theta},A\right)\right]. \end{multline*}\end{center}

Т.е. приходим к уравнению:

$$ \dfrac{1+x}{1+\theta}\dfrac{\partial}{\partial x}\psi(x,A) &= \dfrac{1+x}{1+\theta}+\dfrac{1}{\theta}\left[\psi(x,A)-1-\psi\left(\dfrac{1+x}{1+\theta},A\right)\right]. $$

Сделаем замену переменных: $x\mapsto t+1/\theta$, так что $(1+x)/(1+\theta)\mapsto t/(1+\theta)+1/\theta$. Имеем:

$$ \left(\dfrac{t}{1+\theta}+\dfrac{1}{\theta}\right)\dfrac{\partial}{\partial t}\tilde{\psi}(t,A) &= \dfrac{t}{1+\theta}+\dfrac{1}{\theta}+\dfrac{1}{\theta}\left[\tilde{\psi}(t,A)-1-\tilde{\psi}\left(\dfrac{t}{1+\theta},A\right)\right] $$

или

$$ \left(\dfrac{t}{1+\theta}+\dfrac{1}{\theta}\right)\dfrac{\partial}{\partial t}\tilde{\psi}(t,A) &= \dfrac{t}{1+\theta}+\dfrac{1}{\theta}\left[\tilde{\psi}(t,A)-\tilde{\psi}\left(\dfrac{t}{1+\theta},A\right)\right], $$

где $\tilde{\psi}(t,A)=\psi(t+1/\theta,A)$.

Будем искать решение в виде:

$$ \tilde{\psi}(t,A) &= \sum_{k=0}^\infty C_k \dfrac{t^k}{k!}\;\;\;\text{так что}\;\;\; \dfrac{\partial}{\partial t}\tilde{\psi}(t,A) = \sum_{k=0}^\infty C_{k+1} \dfrac{t^k}{k!}. $$

Имеем:

$$ \dfrac{1}{\theta}\sum_{k=0}^\infty C_{k+1}\dfrac{t^k}{k!} + \dfrac{1}{1+\theta}\sum_{k=0}^\infty C_{k+1}\dfrac{t^{k+1}}{k!} &= \dfrac{t}{1+\theta}+\dfrac{1}{\theta}\sum_{k=1}^\infty C_k \dfrac{t^k}{k!} \left[1-\left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^k\right], $$

или

$$ \dfrac{1}{\theta}C_1 + \sum_{k=1}^\infty\left(\dfrac{C_{k+1}}{\theta}+k\dfrac{C_{k}}{1+\theta}\right)\dfrac{t^k}{k!} &= \dfrac{t}{1+\theta}+\dfrac{1}{\theta}C_1\left[1-\dfrac{1}{1+\theta}\right]t+\dfrac{1}{\theta}\sum_{k=2}^\infty C_k \dfrac{t^k}{k!} \left[1-\left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^k\right] $$

или

$$ \dfrac{1}{\theta}C_1 + \left(\dfrac{C_{2}}{\theta}+\dfrac{C_{1}}{1+\theta}\right) t + \sum_{k=2}^\infty\left(\dfrac{C_{k+1}}{\theta}+k\dfrac{C_{k}}{1+\theta}\right)\dfrac{t^k}{k!} &= \dfrac{t}{1+\theta}(1+C_1)+\dfrac{1}{\theta}\sum_{k=2}^\infty C_k \dfrac{t^k}{k!} \left[1-\left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^k\right], $$

откуда сразу видно, что $C_1=0$, $C_2=\that/(1+\theta)$ и

$$ C_{k+1} &= -C_{k}k\dfrac{\theta}{1+\theta}+C_k\left[1-\left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^k\right]. $$

Далее, т.к.

$$ \sum_{j=0}^{k-1} \left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^j &= \left[1-\left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^k\right]\left/\,\left(1-\dfrac{1}{1+\theta}\right)\right., $$

и

$$ \dfrac{\theta}{1+\theta}\sum_{j=0}^{k-1} \left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^j &= 1-\left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^k. $$

Поэтому, имеем:

$$ C_{k+1} &= C_{k}\left[-k\dfrac{\theta}{1+\theta}+\dfrac{\theta}{1+\theta}\sum_{j=0}^{k-1}\left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^{j}\right]; $$

$$ C_{k+1}&= C_{k}\dfrac{\theta}{1+\theta}\left[-k+\sum_{j=0}^{k-1}\left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^{j}\right]; $$

$$ C_{k+1}&= -C_{k}\dfrac{\theta}{1+\theta}\sum_{j=0}^{k-1}\left[1-\left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^{j}\right]; $$

$$ C_{k+1}&= -C_{k}\dfrac{\theta}{1+\theta}\sum_{j=1}^{k-1}\left[1-\left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^{j}\right]. $$

Тогда

$$ C_{k+1} &= (-1)^{k+1}\left(\dfrac{\theta}{1+\theta}\right)^{k}\prod_{j=1}^{k-1}\left\{\sum_{i=1}^{j}\left[1-\left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^{i}\right]\right\},\;k\ge1, $$

где предполагается $\prod_{i}^j=1$ for $j<i$. Следовательно,

$$ \tilde{\psi}(x,A) &= C_0+\sum_{k=2}^\infty(-1)^k\dfrac{t^k}{k!}\left(\dfrac{\theta}{1+\theta}\right)^{k-1}\prod_{j=1}^{k-2}\left\{\sum_{i=1}^{j}\left[1-\left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^{i}\right]\right\}. $$

Последнее что осталось сделать это обратную замену $t\mapsto x-1/\theta$. Имеем:

$$ \psi(x,A) &= C_0+ \sum_{k=2}^\infty(-1)^k\dfrac{(x-1/\theta)^k}{k!}\left(\dfrac{\theta}{1+\theta}\right)^{k-1}\prod_{j=1}^{k-2}\left\{\sum_{i=1}^{j}\left[1-\left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^{i}\right]\right\}. $$

Но что-то тут не так. Я решил искомое уравнение численно в МАТЛАБе. Ответ очень похож на параболу (линейности нет никакой) с отрицательным коэффициентом при $x^2$. Разумеется "парабола" только на участке $(1+x)/(1+\theta)<A$, т.е. пока есть вклад интеграла в правой части. Потом я реализовал в МАТЛАБе полученное "решение", и сравнил с численным - ничего общего. Может кто-нибудь таки найдет ошибку в моих выкладках. Я в упор ничего не вижу.
Возможно, конечно, что решение не является аналитической функцией и переход к ряду неправомерен, но я не думаю, что это так. Буду признателен любой помощи.

Заранее спасибо.

[Vince Diesel]

ecartman в сообщении #743051 писал(а):

Это сложное на вид уравнение имеет простое решение:

$$ u(x,A)=1+(1+\theta)\left(A-\frac{1+x}{1+\theta}\right) $$

Если $\Gamma(x,y)$ - резольвента первого уравнения в том смысле что решение первого уравнения имеет вид:

$$ u(x,A) = 1+\int_0^A\Gamma(x,y)\,dy, $$

то зная что

$$ u(x,A) = 1+\int_{(1+x)/(1+\theta)}^A dy $$

можно сразу найти резольвенту - это индикатор того, что $y>(1+x)/(1+\theta)$.

Тогда уж

$$ u(x,A) =1+(1+\theta)\int_{(1+x)/(1+\theta)}^A dy. $$

[sup]

Мне кажется, что Вы ошиблись в дифференцировании.
Перепишем Ваше уравнение в виде

$$ \frac {\psi (x,A) - x}{ (1+x)^{1+1/\theta} } = \theta^{-1}(1+\theta)^{-1/\theta} \int \limits_{(1+x)/(1+\theta)}^Ay^{-2-1/\theta}\,\psi(y,A)\,dy,$$

Теперь дифференцируем

$$ \frac {\psi' (x,A) - 1}{ (1+x)^{1+1/\theta} } - (1+1/\theta)\frac {\psi (x,A) - x}{ (1+x)^{2+1/\theta} } = \frac{1}{\theta (1+\theta)^{1/\theta}} \frac {-1}{1+\theta} \left( \frac {1+\theta}{1+x} \right)^{2 + 1/\theta}\,\psi(\frac {1+x}{1+\theta},A)$$

Или

$$(1+x)(\psi' (x,A) - 1) - \frac {1+\theta}{\theta}(\psi (x,A) - x) = - \frac {1+\theta}{\theta}\psi(\frac {1+x}{1+\theta},A) $$

$$(1+x)\psi' (x,A) = \frac {1+\theta}{\theta}\left(\psi (x,A) - \psi(\frac {1+x}{1+\theta},A)\right) + 1 - \frac {x}{\theta}$$

[ecartman]

Vince Diesel в сообщении #744288 писал(а):

Тогда уж

$$ u(x,A) =1+(1+\theta)\int_{(1+x)/(1+\theta)}^A dy. $$

Да, я опечатался, но проблемы это не решает.

sup в сообщении #744320 писал(а):

Мне кажется, что Вы ошиблись в дифференцировании.

$$(1+x)(\psi' (x,A) - 1) - \frac {1+\theta}{\theta}(\psi (x,A) - x) = - \frac {1+\theta}{\theta}\psi(\frac {1+x}{1+\theta},A) $$

$$(1+x)\psi' (x,A) = \frac {1+\theta}{\theta}\left(\psi (x,A) - \psi(\frac {1+x}{1+\theta},A)\right) + 1 - \frac {x}{\theta}$$

Действительно, спасибо. Тогда ответ получается такой:

$$ \tilde{\psi}(t,A) &= C_0-\dfrac{t}{\theta}-\dfrac{1+\theta}{\theta^2}\sum_{k=2}^\infty\dfrac{1}{k!}\left(\dfrac{-\theta t}{1+\theta}\right)^{k}\prod_{j=1}^{k-2}\left\{\sum_{i=1}^{j}\left[1-\left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^{i}\right]\right\} $$

плюс обратная замена $t\mapsto x-1/\theta$. Однако, этот ряд сходится только в маленькой окрестности точки $1/\theta$. В частности, из-за этого нельзая найти константу $C_0$. Получается, что искомая функция не является аналитической?

[sup]

У Вашей функции имеется логарифмическая особенность в точке $x = -1$. Вы раскладываете ее в точке $x = 1/\theta$. Посему радиус сходимости лишь $1 + 1/\theta$. Скорее всего, Ваше решение аналитическая функция на плоскости с разрезом $(-\infty, - 1)$ (но ручаться, конечно же, не могу). Дальнейшее зависит от того, что Вы, собственно говоря, хотите. Явное выражение через какие-то спец. функции или возможность численного решения или еще чего. Если Вас интересует численное решение, то расходимость ряда для "больших" $x$ преодолима (ценой неких усилий).

[ecartman]

sup в сообщении #744573 писал(а):

У Вашей функции имеется логарифмическая особенность в точке $x = -1$. Вы раскладываете ее в точке $x = 1/\theta$. Посему радиус сходимости лишь $1 + 1/\theta$. Скорее всего, Ваше решение аналитическая функция на плоскости с разрезом $(-\infty, - 1)$ (но ручаться, конечно же, не могу). Дальнейшее зависит от того, что Вы, собственно говоря, хотите. Явное выражение через какие-то спец. функции или возможность численного решения или еще чего. Если Вас интересует численное решение, то расходимость ряда для "больших" $x$ преодолима (ценой неких усилий).

Спасибо за консультацию, sup. Вообще хотелось бы иметь явное выражение через спец. функции (скорее всего они тут вылезут). Но видимо такое выражение здесь получить трудно. Если говорить о численном решении, то как преодолевается расходимость ряда для "больших" $x$? Спасибо еще раз.

[sup]

Насчет явного выражения - я пас, т.к. не специалист по спец. функциям.
Насчет ряда. Рассмотрим Ваше решение в виде ряда
$\psi (x) = \sum \limits_{k=1}^{\infty}a_k (x- 1/\theta)^k$
По построению, эта функция удовлетворяет уравнению

$$\psi (x) = x -\theta^{-1}(1+\theta)^{-1/\theta}(1+x)^{1+1/\theta}\int \limits_{1/\theta}^{(1+x)/(1+\theta)}y^{-2-1/\theta}\,\psi(y)\,dy + Q(1+x)^{1+1/\theta}$$

Для того, чтобы найти $Q$ достаточно в этом равенстве положить $x = 1/ \theta$, после чего получим

$$1/ \theta + Q(1+1/ \theta)^{1+1/\theta} = 0$$

Ну а теперь достаточно заметить, что при $x > 1/\theta$ имеем $x > \frac {1+x}{1 + \theta}$.
Наш ряд определяет функцию $\psi(x)$ для $x < 1+ 2/ \theta$. Следовательно мы "можем сосчитать интеграл" для $\frac {1+x}{1 + \theta} < 1+ 2/ \theta$. Что позволит определить $\psi(x)$ на большем интервале. Далее аналогично. С каждым шагом величина интервала растет как геометрическая прогрессия. Теоретически, можно было бы попробовать проделать это "в буквах", но там возникают какие-то громоздкие выражения.

[ecartman]

sup в сообщении #744671 писал(а):

Насчет явного выражения - я пас, т.к. не специалист по спец. функциям.
Насчет ряда. Рассмотрим Ваше решение в виде ряда
$\psi (x) = \sum \limits_{k=1}^{\infty}a_k (x- 1/\theta)^k$
По построению, эта функция удовлетворяет уравнению

$$\psi (x) = x -\theta^{-1}(1+\theta)^{-1/\theta}(1+x)^{1+1/\theta}\int \limits_{1/\theta}^{(1+x)/(1+\theta)}y^{-2-1/\theta}\,\psi(y)\,dy + Q(1+x)^{1+1/\theta}$$

Для того, чтобы найти $Q$ достаточно в этом равенстве положить $x = 1/ \theta$, после чего получим

$$1/ \theta + Q(1+1/ \theta)^{1+1/\theta} = 0$$

Ну а теперь достаточно заметить, что при $x > 1/\theta$ имеем $x > \frac {1+x}{1 + \theta}$.
Наш ряд определяет функцию $\psi(x)$ для $x < 1+ 2/ \theta$. Следовательно мы "можем сосчитать интеграл" для $\frac {1+x}{1 + \theta} < 1+ 2/ \theta$. Что позволит определить $\psi(x)$ на большем интервале. Далее аналогично. С каждым шагом величина интервала растет как геометрическая прогрессия. Теоретически, можно было бы попробовать проделать это "в буквах", но там возникают какие-то громоздкие выражения.

А как же константа $C_0$? Т.е. вообще говоря решение имеет еще и константу. Уравнение, которое Вы получили на $Q$, основано на предположении, что $\psi(1/\theta)=0$, а это не так. Или я чего-то не понимаю?

Видимо, все таки нужно учитывать $C_0$, расширять интервал сходимости для ряда до тех пор, пока не будет покрыта точка $(1+x)/(1+\theta)=A$, в которой известно значение $\psi(x)$, и из этого найти $C_0$.

[sup]

Я Вас не пойму. Вот у нас есть $\psi_0(x) = \sum a_k (x-1/\theta)^k$. Ее мы можем вычислить везде, где потребуется. Наша искомая функция $\psi$ отличается от этой на некую константу. Чтобы эту константу найти, достаточно сравнить функции в какой-то точке. В какой? Ну конечно в такой $x$, что
$A = \frac {1+x}{1+\theta}$.
В этой точке должно быть $\psi(x) = x$, а $\psi_0(x)$ можем вычислить. Взяли разность и нашли нужную константу.
К слову. Искать $\psi_0(x)$ за пределами области сходимости ряда можно и с помощью разностных схем. Достатчно переписать уравнение для $\psi_0$ в виде

$$ \frac {\theta (1+x)}{1+\theta} \psi_0'(x) - \psi_0(x) = - \psi_0 \left (\frac {1+x}{1+\theta} \right ) + \dots $$

и рассматривать его как дифференциальное уравнение относительно $\psi_0(x)$. При $x > 1/\theta$ в правой части аргумент "запаздывающий", поэтому можно считать, что к моменту использования там уже все известно.

[ecartman]

sup в сообщении #744789 писал(а):

Я Вас не пойму. Вот у нас есть $\psi_0(x) = \sum a_k (x-1/\theta)^k$. Ее мы можем вычислить везде, где потребуется. Наша искомая функция $\psi$ отличается от этой на некую константу. Чтобы эту константу найти, достаточно сравнить функции в какой-то точке. В какой? Ну конечно в такой $x$, что
$A = \frac {1+x}{1+\theta}$.
В этой точке должно быть $\psi(x) = x$, а $\psi_0(x)$ можем вычислить. Взяли разность и нашли нужную константу.
К слову. Искать $\psi_0(x)$ за пределами области сходимости ряда можно и с помощью разностных схем. Достатчно переписать уравнение для $\psi_0$ в виде

$$ \frac {\theta (1+x)}{1+\theta} \psi_0'(x) - \psi_0(x) = - \psi_0 \left (\frac {1+x}{1+\theta} \right ) + \dots $$

и рассматривать его как дифференциальное уравнение относительно $\psi_0(x)$. При $x > 1/\theta$ в правой части аргумент "запаздывающий", поэтому можно считать, что к моменту использования там уже все известно.

Ок, спасибо за разъяснения, именно это я и имел ввиду относительно нахождения константы.

[ecartman]

Меня вновь заинтересовала эта задача. А можно ли тут попробовать "подобрать" решение в виде ряда Фурье? Т.е. искать решение как

$$ \psi(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx) $$

где коэффициенты выбираются как обычно, из условия ортогональности. Будет ли такой подход работать?

Кстати, возвращаясь к логарифмической особенности искомой функции в точке $x=-1$: можно ли ее устранить, скажем, заменой переменных?