Похоже на ку-гипергеометрическую функцию. Вроде Ваше решение простого уравнения-линейная функция. Поэтому её производная число, и взяв производную в этом уравнении получаем тождество. Тогда взяв производную во втором с учётом указанного тождества не получается, что решение тоже линейное? Тогда его можно найти подстановкой.
Кратко: мне кажется, что оба Ваши уравнения имеют линейных решения, их можно найти подстановкой. Без резольвенты. Если добавить не

, а что-то ещё скажем

, то это уже не так. Тогда нужна резольвента-это более сложная задача.
Ещё похоже что делением на степень и заменами уравнение можно свести к дифференциально-разностному. Не знаю проще ли станет без интегралов, на вид-короче.
sergei1961, к сожеланию, линейности тут не будет, даже при том, что 1 в правой части заменяется на

.
Подобное видел, во:
http://mathworld.wolfram.com/q-Factorial.html-- менее минуты назад --(там нет ничего полезного, кроме узнать, как это называется)
Спасибо,
ИСН.
Вообще, что-то тут "не чисто". Попробую полностью привести свое решение, может быть кто-то укажет на ошибку. Пусть требуется решить уравнение:

где

. Решение требуется на интервале

. Понятно, что при

, инграл в правой части будет 0, и ответ будет просто

. Поэтому допустим

и продифф. обе части уравнения по

. Имеем:
![\begin{center}\begin{multline*}
\frac{\partial}{\partial x}\psi(x,A)=1+
\theta^{-1}(1+\theta)^{-1/\theta}\left\{\left(\frac{d}{dx}(1+x)^{1+1/\theta}\right)\int_{(1+x)/(1+\theta)}^Ay^{-2-1/\theta}\,\psi(y,A)\,dy\right.\\
\quad\quad\quad\left.+(1+x)^{1+1/\theta}\left(\frac{d}{dx}\int_{(1+x)/(1+\theta)}^Ay^{-2-1/\theta}\,\psi(y,A)\,dy\right)\right\}\\
\quad\quad\quad=1+
\theta^{-1}(1+\theta)^{-1/\theta}\left\{\frac{1+\theta}{\theta}(1+x)^{-1}(1+x)^{1+1/\theta}\int_{(1+x)/(1+\theta)}^Ay^{-2-1/\theta}\,\psi(y,A)\,dy\right.\\
\quad\quad\quad\left.-(1+x)^{1+1/\theta}\frac{1}{1+\theta}\left(\frac{1+x}{1+\theta}\right)^{-2-1/\theta}\,\psi\left(\frac{1+x}{1+\theta},A\right)\right\}\\
=1+\frac{1+\theta}{\theta}\frac{1}{1+x}\left[\psi(x,A)-1-\psi\left(\frac{1+x}{1+\theta},A\right)\right].
\end{multline*}\end{center} \begin{center}\begin{multline*}
\frac{\partial}{\partial x}\psi(x,A)=1+
\theta^{-1}(1+\theta)^{-1/\theta}\left\{\left(\frac{d}{dx}(1+x)^{1+1/\theta}\right)\int_{(1+x)/(1+\theta)}^Ay^{-2-1/\theta}\,\psi(y,A)\,dy\right.\\
\quad\quad\quad\left.+(1+x)^{1+1/\theta}\left(\frac{d}{dx}\int_{(1+x)/(1+\theta)}^Ay^{-2-1/\theta}\,\psi(y,A)\,dy\right)\right\}\\
\quad\quad\quad=1+
\theta^{-1}(1+\theta)^{-1/\theta}\left\{\frac{1+\theta}{\theta}(1+x)^{-1}(1+x)^{1+1/\theta}\int_{(1+x)/(1+\theta)}^Ay^{-2-1/\theta}\,\psi(y,A)\,dy\right.\\
\quad\quad\quad\left.-(1+x)^{1+1/\theta}\frac{1}{1+\theta}\left(\frac{1+x}{1+\theta}\right)^{-2-1/\theta}\,\psi\left(\frac{1+x}{1+\theta},A\right)\right\}\\
=1+\frac{1+\theta}{\theta}\frac{1}{1+x}\left[\psi(x,A)-1-\psi\left(\frac{1+x}{1+\theta},A\right)\right].
\end{multline*}\end{center}](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/5/cf5d4cd2cc8b1ca18422b492d387c9ee82.png)
Т.е. приходим к уравнению:
![$$
\dfrac{1+x}{1+\theta}\dfrac{\partial}{\partial x}\psi(x,A)
&=
\dfrac{1+x}{1+\theta}+\dfrac{1}{\theta}\left[\psi(x,A)-1-\psi\left(\dfrac{1+x}{1+\theta},A\right)\right].
$$ $$
\dfrac{1+x}{1+\theta}\dfrac{\partial}{\partial x}\psi(x,A)
&=
\dfrac{1+x}{1+\theta}+\dfrac{1}{\theta}\left[\psi(x,A)-1-\psi\left(\dfrac{1+x}{1+\theta},A\right)\right].
$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/0/7/30787c285fd0fcc556f08354dcf5128182.png)
Сделаем замену переменных:

, так что

. Имеем:
![$$
\left(\dfrac{t}{1+\theta}+\dfrac{1}{\theta}\right)\dfrac{\partial}{\partial t}\tilde{\psi}(t,A)
&=
\dfrac{t}{1+\theta}+\dfrac{1}{\theta}+\dfrac{1}{\theta}\left[\tilde{\psi}(t,A)-1-\tilde{\psi}\left(\dfrac{t}{1+\theta},A\right)\right]
$$ $$
\left(\dfrac{t}{1+\theta}+\dfrac{1}{\theta}\right)\dfrac{\partial}{\partial t}\tilde{\psi}(t,A)
&=
\dfrac{t}{1+\theta}+\dfrac{1}{\theta}+\dfrac{1}{\theta}\left[\tilde{\psi}(t,A)-1-\tilde{\psi}\left(\dfrac{t}{1+\theta},A\right)\right]
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/4/414df3cd3f89cf3b6691d6dba4a8173782.png)
или
![$$
\left(\dfrac{t}{1+\theta}+\dfrac{1}{\theta}\right)\dfrac{\partial}{\partial t}\tilde{\psi}(t,A)
&=
\dfrac{t}{1+\theta}+\dfrac{1}{\theta}\left[\tilde{\psi}(t,A)-\tilde{\psi}\left(\dfrac{t}{1+\theta},A\right)\right],
$$ $$
\left(\dfrac{t}{1+\theta}+\dfrac{1}{\theta}\right)\dfrac{\partial}{\partial t}\tilde{\psi}(t,A)
&=
\dfrac{t}{1+\theta}+\dfrac{1}{\theta}\left[\tilde{\psi}(t,A)-\tilde{\psi}\left(\dfrac{t}{1+\theta},A\right)\right],
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/1/cf172af775d158e681c42fc34907702782.png)
где

.
Будем искать решение в виде:

Имеем:
![$$
\dfrac{1}{\theta}\sum_{k=0}^\infty C_{k+1}\dfrac{t^k}{k!}
+
\dfrac{1}{1+\theta}\sum_{k=0}^\infty C_{k+1}\dfrac{t^{k+1}}{k!}
&=
\dfrac{t}{1+\theta}+\dfrac{1}{\theta}\sum_{k=1}^\infty C_k \dfrac{t^k}{k!} \left[1-\left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^k\right],
$$ $$
\dfrac{1}{\theta}\sum_{k=0}^\infty C_{k+1}\dfrac{t^k}{k!}
+
\dfrac{1}{1+\theta}\sum_{k=0}^\infty C_{k+1}\dfrac{t^{k+1}}{k!}
&=
\dfrac{t}{1+\theta}+\dfrac{1}{\theta}\sum_{k=1}^\infty C_k \dfrac{t^k}{k!} \left[1-\left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^k\right],
$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/4/c/54cc805a032fa1b78732011c00b8ec9482.png)
или
![$$
\dfrac{1}{\theta}C_1
+
\sum_{k=1}^\infty\left(\dfrac{C_{k+1}}{\theta}+k\dfrac{C_{k}}{1+\theta}\right)\dfrac{t^k}{k!}
&=
\dfrac{t}{1+\theta}+\dfrac{1}{\theta}C_1\left[1-\dfrac{1}{1+\theta}\right]t+\dfrac{1}{\theta}\sum_{k=2}^\infty C_k \dfrac{t^k}{k!} \left[1-\left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^k\right]
$$ $$
\dfrac{1}{\theta}C_1
+
\sum_{k=1}^\infty\left(\dfrac{C_{k+1}}{\theta}+k\dfrac{C_{k}}{1+\theta}\right)\dfrac{t^k}{k!}
&=
\dfrac{t}{1+\theta}+\dfrac{1}{\theta}C_1\left[1-\dfrac{1}{1+\theta}\right]t+\dfrac{1}{\theta}\sum_{k=2}^\infty C_k \dfrac{t^k}{k!} \left[1-\left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^k\right]
$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/3/9438d1c966f59af9dcc6b2ba01354c7882.png)
или
![$$
\dfrac{1}{\theta}C_1
+
\left(\dfrac{C_{2}}{\theta}+\dfrac{C_{1}}{1+\theta}\right) t
+
\sum_{k=2}^\infty\left(\dfrac{C_{k+1}}{\theta}+k\dfrac{C_{k}}{1+\theta}\right)\dfrac{t^k}{k!}
&=
\dfrac{t}{1+\theta}(1+C_1)+\dfrac{1}{\theta}\sum_{k=2}^\infty C_k \dfrac{t^k}{k!} \left[1-\left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^k\right],
$$ $$
\dfrac{1}{\theta}C_1
+
\left(\dfrac{C_{2}}{\theta}+\dfrac{C_{1}}{1+\theta}\right) t
+
\sum_{k=2}^\infty\left(\dfrac{C_{k+1}}{\theta}+k\dfrac{C_{k}}{1+\theta}\right)\dfrac{t^k}{k!}
&=
\dfrac{t}{1+\theta}(1+C_1)+\dfrac{1}{\theta}\sum_{k=2}^\infty C_k \dfrac{t^k}{k!} \left[1-\left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^k\right],
$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/5/7e51156fa109fe37f83f0f3bb06bbe5282.png)
откуда сразу видно, что

,

и
![$$
C_{k+1}
&=
-C_{k}k\dfrac{\theta}{1+\theta}+C_k\left[1-\left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^k\right].
$$ $$
C_{k+1}
&=
-C_{k}k\dfrac{\theta}{1+\theta}+C_k\left[1-\left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^k\right].
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/8/2f8bdb1698fa6dbd9fe8046445cfb0f482.png)
Далее, т.к.
![$$
\sum_{j=0}^{k-1}
\left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^j
&=
\left[1-\left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^k\right]\left/\,\left(1-\dfrac{1}{1+\theta}\right)\right.,
$$ $$
\sum_{j=0}^{k-1}
\left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^j
&=
\left[1-\left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^k\right]\left/\,\left(1-\dfrac{1}{1+\theta}\right)\right.,
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/4/2e4e876b4fcab485e0735022023dad6e82.png)
и

Поэтому, имеем:
![$$
C_{k+1}
&=
C_{k}\left[-k\dfrac{\theta}{1+\theta}+\dfrac{\theta}{1+\theta}\sum_{j=0}^{k-1}\left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^{j}\right];
$$ $$
C_{k+1}
&=
C_{k}\left[-k\dfrac{\theta}{1+\theta}+\dfrac{\theta}{1+\theta}\sum_{j=0}^{k-1}\left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^{j}\right];
$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/c/b/fcb971e16a32a928a6aa62fac24e5f6e82.png)
![$$
C_{k+1}&=
C_{k}\dfrac{\theta}{1+\theta}\left[-k+\sum_{j=0}^{k-1}\left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^{j}\right];
$$ $$
C_{k+1}&=
C_{k}\dfrac{\theta}{1+\theta}\left[-k+\sum_{j=0}^{k-1}\left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^{j}\right];
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/9/089f0c197cf3e3b1d9f0622d9db30f0682.png)
![$$
C_{k+1}&=
-C_{k}\dfrac{\theta}{1+\theta}\sum_{j=0}^{k-1}\left[1-\left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^{j}\right];
$$ $$
C_{k+1}&=
-C_{k}\dfrac{\theta}{1+\theta}\sum_{j=0}^{k-1}\left[1-\left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^{j}\right];
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/a/84ab9d8948e5438b50a62f48ae626d4c82.png)
![$$
C_{k+1}&=
-C_{k}\dfrac{\theta}{1+\theta}\sum_{j=1}^{k-1}\left[1-\left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^{j}\right].
$$ $$
C_{k+1}&=
-C_{k}\dfrac{\theta}{1+\theta}\sum_{j=1}^{k-1}\left[1-\left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^{j}\right].
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/7/4573eb79dd8fb3ef7e43b0f1e0ad013082.png)
Тогда
![$$
C_{k+1}
&=
(-1)^{k+1}\left(\dfrac{\theta}{1+\theta}\right)^{k}\prod_{j=1}^{k-1}\left\{\sum_{i=1}^{j}\left[1-\left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^{i}\right]\right\},\;k\ge1,
$$ $$
C_{k+1}
&=
(-1)^{k+1}\left(\dfrac{\theta}{1+\theta}\right)^{k}\prod_{j=1}^{k-1}\left\{\sum_{i=1}^{j}\left[1-\left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^{i}\right]\right\},\;k\ge1,
$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/0/3f0cd815a696056bc33de59ecaf149c982.png)
где предполагается

for

. Следовательно,
![$$
\tilde{\psi}(x,A)
&=
C_0+\sum_{k=2}^\infty(-1)^k\dfrac{t^k}{k!}\left(\dfrac{\theta}{1+\theta}\right)^{k-1}\prod_{j=1}^{k-2}\left\{\sum_{i=1}^{j}\left[1-\left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^{i}\right]\right\}.
$$ $$
\tilde{\psi}(x,A)
&=
C_0+\sum_{k=2}^\infty(-1)^k\dfrac{t^k}{k!}\left(\dfrac{\theta}{1+\theta}\right)^{k-1}\prod_{j=1}^{k-2}\left\{\sum_{i=1}^{j}\left[1-\left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^{i}\right]\right\}.
$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/4/56479f4cdbf353a0269fd00228ba5b7b82.png)
Последнее что осталось сделать это обратную замену

. Имеем:
![$$
\psi(x,A)
&=
C_0+
\sum_{k=2}^\infty(-1)^k\dfrac{(x-1/\theta)^k}{k!}\left(\dfrac{\theta}{1+\theta}\right)^{k-1}\prod_{j=1}^{k-2}\left\{\sum_{i=1}^{j}\left[1-\left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^{i}\right]\right\}.
$$ $$
\psi(x,A)
&=
C_0+
\sum_{k=2}^\infty(-1)^k\dfrac{(x-1/\theta)^k}{k!}\left(\dfrac{\theta}{1+\theta}\right)^{k-1}\prod_{j=1}^{k-2}\left\{\sum_{i=1}^{j}\left[1-\left(\dfrac{1}{1+\theta}\right)^{i}\right]\right\}.
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/0/e50e73bf3019a6eb01d82c3beed2e58c82.png)
Но что-то тут не так. Я решил искомое уравнение численно в МАТЛАБе. Ответ очень похож на параболу (линейности нет никакой) с отрицательным коэффициентом при

. Разумеется "парабола" только на участке

, т.е. пока есть вклад интеграла в правой части. Потом я реализовал в МАТЛАБе полученное "решение", и сравнил с численным - ничего общего. Может кто-нибудь таки найдет ошибку в моих выкладках. Я в упор ничего не вижу.
Возможно, конечно, что решение не является аналитической функцией и переход к ряду неправомерен, но я не думаю, что это так. Буду признателен любой помощи.
Заранее спасибо.