Как доказать интегрируемость ограниченных функций?

[Anton_Peplov]

Пытаюсь доказать, что всякая ограниченная функция интегрируема по Лебегу.
Для этого достаточно доказать, что всякая ограниченная функция измерима. Тогда к ней равномерно сходится последовательность простых ограниченных функций (функция называется простой, если она измерима и принимает не более чем счетное число значений), а для простых ограниченных функций интегрируемость доказывается на раз. Но как доказать, что всякая ограниченная функция измерима?
Или можно доказать интегрируемость всех ограниченных функций, не опираясь на этот факт? Если да, то как?
Обращаю внимание, что я не хочу требовать, чтобы областью определения функции было подмножество числовой прямой. Пусть областью определения будет произвольное множество с некоторой сигма-алгеброй измеримых подмножеств.

[Red_Herring]

Anton_Peplov в сообщении #897751 писал(а):

Пытаюсь доказать, что всякая ограниченная функция интегрируема по Лебегу.
Для этого достаточно доказать, что всякая ограниченная функция измерима.

Ни то ни другое неверно. Пример: характеристическая функция неизмеримого множества.