Теоретическая на фундаментальное решение оператора.

[artvl]

Доказать, что фундаментальное решение дифференциального оператора с постоянными коэффициентами не может иметь компактный носитель.
Вроде получается так. Пусть наш оператор $ L $. Фундаментальное решение нашего оператора - имеет вид $ \Theta(x)\cdot y(x) $, где $y$ решение $ L \cdot y = 0$, с некоторыми начальными условиями. Но тогда получается, что финитную функцию нельзя задать дифференциальным уравнением. Это так? И как это примерно доказывать?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Приведите попытки решения и укажите конкретные затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[ewert]

Вообще-то у операторов не бывает решений. В принципе не бывает -- ни фундаментальных, ни вообще никаких. А поскольку ничего не сказано, о каком конкретно типе операторов идёт речь, ситуация становится и вовсе интересной.

[artvl]

Задачник Бородин Шейпак. Тема Фундаментальные решения.
Пусть $ L = P (\frac{d}{dx_1}, \cdots , \frac{d}{dx_1})$ - дифференциальный оператор конечного порядка с постоянными комплексными коэффициентами. (P - комплексный многочлен от n переменных). Фундаментальным решением для этого оператора называется любая обобщенная функция $ E \in D'(\mathbf R^n) $, удовлетворяющая условию $ L(E) = \delta_0$. Это определение из задачника.

[Oleg Zubelevich]

если решение имеет компактный носитель, то его фурье-образ -- целая функция

[artvl]

Хм. ну это не особенно что дает. В том же задачнике предложен такой вариант нахождения решения. Применим преобразование Фурье . Получим $ P(i\lambda_1, \dots ,i\lambda_n)\widehat{A} = 1/(2\pi)^{n/2} $. Тогда $ \widehat{A} = P^{-1}(i\lambda_1, \dots ,i\lambda_n) / (2\pi)^{n/2}$. Посмотрим на обратное преобразование Фурье этого многочлена. Если у него нет действительных корней то все прекрасно интегрируется . Или я неправильно понимаю определение целой функции по отношению к функции из $\mathbf R^n$?

[Red_Herring]

artvl в сообщении #907407 писал(а):

Или я неправильно понимаю определение целой функции по отношению к функции из $\mathbf R^n$?

Разумеется. Что такое целая функция одного переменного? $n$ переменных?

[artvl]

Из вики : целая - голоморфная везде кроме может $ \infty$. Но это в $ \mathbf C^n$. А мы в $\mathbf R^n$ . Там целая - дифференцируемая везде?

[Red_Herring]

Целой функцией называется аналитическая функция с бесконечным радиусом сходимости. Поэтому любая целая функция определена всюду $\mathbb{C}^n$.

У Вас явно не хватает базы.

[ewert]

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #907737 писал(а):

Целой функцией называется аналитическая функция с бесконечным радиусом сходимости. Поэтому любая целая функция определена всюду $\mathbb{C}^n$.

Вообще-то скорее наоборот, причём категорически. Это насчёт базы.

[Red_Herring]

Поскольку полином порядка выше $0$ имеет нули в $\mathbb{C}^n$ то $P^{-1}(i\lambda_1, \dots ,i\lambda_n) / (2\pi)^{n/2}$ не может быть целой функцией (за исключением тривиального случая оператора умножения на константу).

[artvl]

Можно некоторые разъяснения? Преобразование Фурье переводит вещественнозначные функции в вещественнозначные. То есть мы рассматриваем $ P^{-1} (i\lambda_1 , \cdots, i\lambda_n) /(2\pi)^{n/2}$ как функцию из $ \mathbf R^n$. Как тогда доопределить её для $ \mathbf C^n$ . И что как вообще до определять функции таким образом? ( например то, что Фурье-образ финитной есть целая, хотя финитная была из $ \mathbf R^n$).

[Red_Herring]

Если у Вас есть функция с (или распределение) компактным носителем, то преобразование Фурье $\hat{u}(\xi)= (2\pi)^{-n} (u, e^{-i\langle x,\xi\rangle}$ определено в $\mathbb{C}^n$ и это будет целая функция.

Более общо: если $u$ имеет носитель в $\{x:\, x_n>0\}$ то преобразование Фурье продолжается голоморфным образом в $\Im \xi_n <0$. См. подробнее Теорему Пэли-Винера (для распределений просто условия роста будут немного другими; при этом в точных формулировках обратное утверждение также верно).

В частности, можно переформулировать "носитель $u$ лежит в конусе $\Gamma$" (коническом мн-ве) через "$\hat{u}$ продолжается голоморфным образом в $\mathbb{R}^n-i \Gamma ^*$" (плюс условия роста), где $\Gamma^*$—двойственный конус.