Если у Вас есть функция с (или распределение) компактным носителем, то преобразование Фурье

определено в

и это будет целая функция.
Более общо: если

имеет носитель в

то преобразование Фурье продолжается голоморфным образом в

. См. подробнее Теорему Пэли-Винера (для распределений просто условия роста будут немного другими; при этом в точных формулировках обратное утверждение также верно).
В частности, можно переформулировать "носитель

лежит в конусе

" (коническом мн-ве) через "

продолжается голоморфным образом в

" (плюс условия роста), где

—двойственный конус.