Индексы при суммировании

[xolodec]

Читаю "конкретную математику" Кнута и не могу понять переход, где меняется порядок суммирования. Вот скриншот.

Как вы считаете, все ли остается верно при изменении порядка суммирования?

[nnosipov]

При $k=n$ внутренняя сумма просто равна нулю, так что всё в порядке.

[xolodec]

Внутренняя сумма равна нулю в этом случае только потому, что $1\leq j\leq0$, то есть из за неверного соотношения индексов суммирования. Или это правда абсолютно корректная запись ?

[mihaild]

xolodec в сообщении #896931 писал(а):

Внутренняя сумма равна нулю в этом случае только потому, что $1\leq j\leq0$, то есть из за неверного соотношения индексов суммирования. Или это правда абсолютно корректная запись ?

Суммирование идет по множеству чисел в промежутке $[1; 0]$, то есть пустому. Сумма по пустому множеству - ноль. Всё корректно.

[arseniiv]

xolodec в сообщении #896931 писал(а):

Или это правда абсолютно корректная запись ?

$l\leqslant m\leqslant n \Leftrightarrow l\leqslant m\wedge m\leqslant n$, так что да, корректная, просто при $l>n$ утверждение ложно независимо от $m$, но сумма по пустому множеству — это не что-то недопустимое, а легко недвусмысленно может быть определена как ноль; все так и делают (иногда оговаривая явно. Может, в «Конкретной математике» это тоже было явно замечено раньше, но не помню).

[xolodec]

Спасибо большое! Я понял.
Еще раз благодарю.