делители нуля при локализации кольца

[OlgaD]

Помогите проверить правильность рассуждения: мультипликативная система $S$ кольца $R$ регулярна, если она не содержит нуля. Возьмем нерегулярную систему и локализуем кольцо по этой системе, получаем кольцо частных $S^{-1}R.$ Локализация кольца по мультипликативной системе - это формальное обращение всех ее элементов. Следовательно, делителя нуля нерегулярной системы $S$ становятся в кольце $S^{-1}R$ обратимыми, а, значит, уже не являются делителями нуля в кольце $S^{-1}R.$

-- 13.08.2014, 13:47 --

А вот доказать "в лоб" уже не получается.

[OlgaD]

Вообще, я наверное, поставила не совсем корректный вопрос. Так как гомоморфизм $\varphi:R\rightarrow S^{-1}R,\;r\mapsto r/1$ в этом случае вложением не является. Однако, все равно хочется разобраться в структуре кольца $S^{-1}R$ при нерегулярной системе $S.$

[patzer2097]

OlgaD в сообщении #895810 писал(а):

Однако, все равно хочется разобраться в структуре кольца $S^{-1}R$ при нерегулярной системе $S.$

Иными словами, хочется понять, что будет, если разрешить делить на ноль? Думаю, в этом нет никакого смысла.

[OlgaD]

Кто сказал про деление на ноль? Просто хочу понять как выглядит кольцо частных по нерегулярной мультипликативной системе.

[patzer2097]

OlgaD в сообщении #895858 писал(а):

Просто хочу понять как выглядит кольцо частных по нерегулярной мультипликативной системе.

ну я говорю, если рассматривать такую локализацию, то нуль в ней будет обратим по умножению. А единственное кольцо, в котором нуль обратим - это $\{0\}$. Так и выглядит Ваше кольцо частных, если, конечно, вообще есть смысл определять его в этом случае.

[OlgaD]

На самом деле все немножко хитрее. Я нашла много интересного по этому вопросу в книге Зарисский, Самюэль Коммутативная алгебра.

Вы же не утверждаете, что локализация кольца возможна только относительно регулярной системы?

[patzer2097]

OlgaD в сообщении #895875 писал(а):

Вы же не утверждаете, что локализация кольца возможна только относительно регулярной системы?

я ничего не утверждаю, я только хочу понять пока, в чем Ваш вопрос. Можете еще раз его сформулировать? И к тому же, вроде бы обычно регулярной называют такую мультипликативную систему, которая не содержит делителей нуля, и потому вовсе не обязательно, что

OlgaD в сообщении #895797 писал(а):

мультипликативная система $S$ кольца $R$ регулярна, если она не содержит нуля

[OlgaD]

а поняла...это я, конечно, опечаталась. Имелась в виду нерегулярная система $S,$ содержащая хотя бы один делитель нуля. Поскольку при локализации в кольце частных все элементы системы $S$ должны стать обратимыми, мне было непонятно как же быть с делителями нуля. Оказывается здесь немного другая конструкция.

[OlgaD]

Кстати о моей опечатке в первом сообщении. У Ленга отмечается, что если $0\in S,$ то $S^{-1}R$ содержит ровно один элемент, а именно $0/1.$ Что кольцо $S^{-1}R$ состоит из одного элемента понятно: в этом случае все пары $(r,s)\in R\times S$ будут эквивалентны друг другу. А вот почему класс эквивалентности обозначили именно $0/1?$

И еще один вопрос: локализации по простому идеалу и по элементу можно рассматривать в произвольном кольце или только в области целостности?

[patzer2097]

OlgaD в сообщении #896439 писал(а):

И еще один вопрос: локализации по простому идеалу и по элементу можно рассматривать в произвольном кольце или только в области целостности?

ну в произвольном коммутативном кольце можно, а что мешает? Кстати, локализацией кольца $R$ по простому идеалу $I$ называется $(R\setminus I)^{-1}R$ (в частности, $R\setminus I$ будет мультипликативным множеством), поэтому на нуль делить нам точно не придется

[OlgaD]

это я уже поняла В общем, подводя итог моему вопросу о локализации по нерегулярной системе $S,$ поступаем так: "выкидываем" из нее делители нуля, переходя от кольца $R$ к кольцу $R/I_S.$ Это кольцо целостно, а следовательно, все мультипликативные системы регулярны, в том числе и система $\overline{S}=(S+I_S)/I_S.$ Тогда кольцо частных $S^{-1}R$ - это локализация вида $\overline{S}^{-1}(R/I_S).$ Вроде бы так...

[OlgaD]

Подскажите, пожалуйста, никак не могу сообразить. Пусть у нас есть гомоморфизм колец (коммутативных с единицей) $f:R\rightarrow T$ с ядром $\operatorname{Ker}f\ne(0).$ Утверждается, что $f$ определяет гомоморфизм $f':R/\operatorname{Ker}f\rightarrow T.$ Что это за гомоморфизм $f'$ и как он действует?

[patzer2097]

OlgaD в сообщении #896933 писал(а):

$f$ определяет гомоморфизм $f':R/\operatorname{Ker}f\rightarrow T.$ Что это за гомоморфизм $f'$ и как он действует?

Ну $f'$ переводит $r+\operatorname{Ker}f$ в $f(r)$, а как еще?

[Oleg Zubelevich]

$f'$ это гомоморфизм или изоморфизм?

[patzer2097]

Oleg Zubelevich в сообщении #896936 писал(а):

$f'$ это гомоморфизм или изоморфизм?

это инъективный (но не обязательно сюръективный) гомоморфизм