Форма с параметром

[maximk]

Задача: найти такое а для любых натуральных $N$, что $x^2-x+a=p$, где $p$ - простое число, $x=1, 2, ..., N$.
Решение: любое простое число представимо в виде $6K \pm 1$, по условию $a=p_{1}+1\cdot0=p_{2}+2\cdot1=...=p_{N}+N(N-1)$, где $p_{l}$ не обязательно является $l$-ым по счету простым числом. Из первого равенства видно, что $a$ - простое число. $a=6k_{1} \pm 1=6k_{2}\pm 1+2=...=6k_{N}\pm 1+N(N-1)$, так как простое $6k_{1}\pm 1=6k_{N}\pm 1+N(N-1)$ $\Rightarrow $$6(k_{1}-k_{N})=N(N-1)\pm 1\pm 1$, то есть $6m=N(N-1)+2$ или $6m=N(N-1)$ или $6m=N(N-1)-2$, где $m=k_{1}-k_{N}$, но существуют $N$, непредставимые данной формой, значит не существует такого $m$, что для любых натуральных $N$ $6m=N(N-1)+2$ или $6m=N(N-1)$ или $6m=N(N-1)-2$, значит, не существует такого $a$, что для любых натуральных $N$ форма $x^2-x+a$ принимает простые числа для $x=1, ..., N$, т.к. не выполняются одновременно равенства $a=6k_{1}\pm 1=6k_{N}\pm 1+N(N-1)$. Где ошибка? Не могу найти.

[nnosipov]

maximk в сообщении #896423 писал(а):

Где ошибка?

Вы сначала задачу внятно сформулируйте. Что именно Вы хотите найти: единое $a$ для всех $N$ или же для каждого $N$ своё персональное $a$.

[maximk]

nnosipov в сообщении #896435 писал(а):

maximk в сообщении #896423 писал(а):

Где ошибка?

Вы сначала задачу внятно сформулируйте. Что именно Вы хотите найти: единое $a$ для всех $N$ или же для каждого $N$ своё персональное $a$.

Да, похоже я не ту задачу решал.
Оригинальная формулировка:
"Доказать, что для каждого натурального числа $N$ существует целое $a$ такое, что $x^2-x+a$ принимает простые значения при $x=1, ..., N$".

[Cash]

Вот это

maximk в сообщении #896423 писал(а):

то есть $6m=N(N-1)+2$ или $6m=N(N-1)$ или $6m=N(N-1)-2$

равносильно тому, что $N(N-1)$ четно, так что никаких противоречий Вы, естественно, не найдете.

Сама задача выглядит фейковой. Доказанный максимум для многочленов данного вида: $N=40$ при $a=41$.

[ex-math]

Cash
А можно ссылку на доказательство или его идею вкратце?

[nnosipov]

В книге "Математические эссе и развлечения" (М., Мир, 1986, стр. 71) есть такая фраза:

Х. Старк [26] доказал, что не существует формы $x^2 + x + A$ с $A \geqslant 41$, все значения которой были бы простыми для $A-1$ последовательных значений $x$.

[26] Michigan Mathematical Journal, 1967, vol. XIV, pp. 1-27.

[iifat]

Ну, это всё ж не совсем та задача.

[nnosipov]

Не та, конечно.

[ex-math]

Я потому и заинтересовался, что утверждение ТС выглядит правдоподобным. Если $a$ достаточно велико, почему бы нет?

[maximk]

Cash в сообщении #896481 писал(а):

Вот это

maximk в сообщении #896423 писал(а):

то есть $6m=N(N-1)+2$ или $6m=N(N-1)$ или $6m=N(N-1)-2$

равносильно тому, что $N(N-1)$ четно, так что никаких противоречий Вы, естественно, не найдете.

Сама задача выглядит фейковой.

Эта задача напечатана в книге Бухштаба по теории чисел на предпоследних страницах среди нескольких других, относящихся к теме простых чисел.

[iifat]

Разности между последовательными значениями полинома будут $2i+2, i=1\dots n$. Что-то типа проблемы близнецов, которая, как понимаю, окончательно не решена, нет?

[Cash]

В A005846 приводится следующее:

Цитата:

The link to E. Wegrzynowski contents the following false statement: "It is possible to find a polynomial of the form $n^2 + n + B$ that gives prime numbers for $n = 0 \ldots A, A$ being any number." It is known that the maximum is $A = 39$ for $B = 41$. - Luis Rodriguez (luiroto(AT)yahoo.com), Jun 22 2008

Но покопавшись (правда неглубоко), нигде подтверждения не нашел. Так что возможно фейковое сообщение как раз на OEIS.

(Оффтоп)

В свое оправдание скажу, что причин не доверять этой информации у меня не было. Если бы ТС сразу сообщил, что это одна из открытых проблем по Бухштабу, то я бы подходил к источникам более тщательно.

[maximk]

iifat в сообщении #896668 писал(а):

Разности между последовательными значениями полинома будут $2i+2, i=1\dots n$. Что-то типа проблемы близнецов, которая, как понимаю, окончательно не решена, нет?

Читал, что проблема простых-близнецов окончательно решена в положительном смысле.

[Cash]

Итан Чжан полтора года назад совершил гигантский прорыв, но окончательного решения еще нет. Применительно к Вашей задаче проблема близнецов отношения не имеет

[Shadow]

Cash в сообщении #897738 писал(а):

Применительно к Вашей задаче проблема близнецов отношения не имеет

Хм. А мне кажется, что решение этой задачи решает проблему с близнецами.

maximk в сообщении #896459 писал(а):

"Доказать, что для каждого натурального числа $N$ существует целое $a$ такое, что $x^2-x+a$ принимает простые значения при $x=1, ..., N$".

Очевидно, что $a>N$ Причем $a$ и $a+2$ простые (при $x=1,x=2$).
Автоматически доказывается бесконечность простых близнецов, т.к. $N$ не ограничено, а $a>N$. Да какие там близнецы, бесконечность простых $a,a+2,a+6\cdots$. Куда сильнее. Или я туплю и не понимаю смысл условия