Фундаментальная матрица системы линейных ОДУ

[cupuyc]

Здравствуйте. У меня есть система линейных неоднородных ОДУ с переменными коэффициентами

$$\dot{x} = A(t) x + b(t)$$

Частное решение такой системы для $x(0) = x_0$ может быть выписано как

$$x\left(t\right)=U\left(t\right)x_{0}+U\left(t\right)\int_{0}^{t}U^{-1}\left(w\right)b\left(w\right)dw \quad \quad (1)$$

где $U(t)$ -- фундаментальная матрица, являющаяся решением матричного ОДУ

$$\frac{d}{dt}U = A(t)U \quad \quad (2)$$

с начальными условиями $ U(0) = I$ -- единичная матрица, если выполняется $\det{U(t)} \ne 0 \, \forall \, t$.

Моя проблема заключается в том, что численно интегрируя матричное уравнение (2), я получаю матричную функцию, которая при некоторых $t$ вырождается. Следовательно, решение не может быть определено по формуле (1). Собственно вопрос: можно ли как-то в общем виде представить частное решение $x(x_0, t)$ линейной системы в случае, когда фундаментальная матрица вырождается в некоторых точках?

[Oleg Zubelevich]

cupuyc в сообщении #895873 писал(а):

если выполняется $\det{U(t)} \ne 0 \, \forall \, t$.

это условие выполняется по теореме Лиувилля

-- Ср авг 13, 2014 19:13:57 --

возможно при численном моделировании имеет смысл использовать матрицу Коши

$$K(t,\tau)=U(t)U^{-1}(\tau),\qquad \dot K(t,\tau)=A(t)K(t,\tau),\quad K(\tau,\tau)=I$$

[Утундрий]

cupuyc в сообщении #895873 писал(а):

численно интегрируя матричное уравнение (2), я получаю матричную функцию, которая при некоторых $t$ вырождается.

Можете привести пример?

[cupuyc]

Утундрий в сообщении #895876 писал(а):

Можете привести пример?

Система задана численно. Какой тут может быть пример?

[Утундрий]

cupuyc в сообщении #895886 писал(а):

Какой тут может быть пример?

С возможно большим количеством существенных деталей. Попытки помочь будут существенно успешней в случае срыва покровов с происхождения обсуждаемого подземного стука в подполе. Или быть может вы ожидаете, что здесь вам опубликуют тотально всеядную и ни разу не глючащую вундервафлю для численного решения такого типа систем? Так это вы зря, ибо таковой в природе не имеется.

[cupuyc]

Oleg Zubelevich в сообщении #895874 писал(а):

это условие выполняется по теореме Лиувилля

-- Ср авг 13, 2014 19:13:57 --

возможно при численном моделировании имеет смысл использовать матрицу Коши

$$K(t,\tau)=U(t)U^{-1}(\tau),\qquad \dot K(t,\tau)=A(t)K(t,\tau),\quad K(\tau,\tau)=I$$

Да, Вы правы. По всей видимости, это численные ошибки интегрирования всё портят.

[Утундрий]

(Оффтоп)

cupuyc в сообщении #895892 писал(а):

По всей видимости, это численные ошибки интегрирования всё портят.

Кто бы мог подумать!