2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Фундаментальная матрица системы линейных ОДУ
Сообщение13.08.2014, 19:07 
Аватара пользователя


30/07/10
254
Здравствуйте. У меня есть система линейных неоднородных ОДУ с переменными коэффициентами
$$\dot{x} = A(t) x + b(t)$$
Частное решение такой системы для $x(0) = x_0$ может быть выписано как
$$x\left(t\right)=U\left(t\right)x_{0}+U\left(t\right)\int_{0}^{t}U^{-1}\left(w\right)b\left(w\right)dw \quad \quad (1)$$
где $U(t)$ -- фундаментальная матрица, являющаяся решением матричного ОДУ
$$\frac{d}{dt}U = A(t)U \quad \quad (2)$$
с начальными условиями $ U(0) = I$ -- единичная матрица, если выполняется $\det{U(t)} \ne 0 \, \forall \, t$.

Моя проблема заключается в том, что численно интегрируя матричное уравнение (2), я получаю матричную функцию, которая при некоторых $t$ вырождается. Следовательно, решение не может быть определено по формуле (1). Собственно вопрос: можно ли как-то в общем виде представить частное решение $x(x_0, t)$ линейной системы в случае, когда фундаментальная матрица вырождается в некоторых точках?

 Профиль  
                  
 
 Re: Фундаментальная матрица системы линейных ОДУ
Сообщение13.08.2014, 19:08 


10/02/11
6786
cupuyc в сообщении #895873 писал(а):
если выполняется $\det{U(t)} \ne 0 \, \forall \, t$.

это условие выполняется по теореме Лиувилля

-- Ср авг 13, 2014 19:13:57 --

возможно при численном моделировании имеет смысл использовать матрицу Коши
$$K(t,\tau)=U(t)U^{-1}(\tau),\qquad \dot K(t,\tau)=A(t)K(t,\tau),\quad K(\tau,\tau)=I$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Фундаментальная матрица системы линейных ОДУ
Сообщение13.08.2014, 19:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9238
cupuyc в сообщении #895873 писал(а):
численно интегрируя матричное уравнение (2), я получаю матричную функцию, которая при некоторых $t$ вырождается.

Можете привести пример?

 Профиль  
                  
 
 Re: Фундаментальная матрица системы линейных ОДУ
Сообщение13.08.2014, 19:40 
Аватара пользователя


30/07/10
254
Утундрий в сообщении #895876 писал(а):
Можете привести пример?

Система задана численно. Какой тут может быть пример?

 Профиль  
                  
 
 Re: Фундаментальная матрица системы линейных ОДУ
Сообщение13.08.2014, 19:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9238
cupuyc в сообщении #895886 писал(а):
Какой тут может быть пример?

С возможно большим количеством существенных деталей. Попытки помочь будут существенно успешней в случае срыва покровов с происхождения обсуждаемого подземного стука в подполе. Или быть может вы ожидаете, что здесь вам опубликуют тотально всеядную и ни разу не глючащую вундервафлю для численного решения такого типа систем? Так это вы зря, ибо таковой в природе не имеется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фундаментальная матрица системы линейных ОДУ
Сообщение13.08.2014, 20:04 
Аватара пользователя


30/07/10
254
Oleg Zubelevich в сообщении #895874 писал(а):
это условие выполняется по теореме Лиувилля

-- Ср авг 13, 2014 19:13:57 --

возможно при численном моделировании имеет смысл использовать матрицу Коши
$$K(t,\tau)=U(t)U^{-1}(\tau),\qquad \dot K(t,\tau)=A(t)K(t,\tau),\quad K(\tau,\tau)=I$$

Да, Вы правы. По всей видимости, это численные ошибки интегрирования всё портят.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фундаментальная матрица системы линейных ОДУ
Сообщение13.08.2014, 20:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9238

(Оффтоп)

cupuyc в сообщении #895892 писал(а):
По всей видимости, это численные ошибки интегрирования всё портят.

Кто бы мог подумать! :shock:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group