Разложить в ряд Фурье

[Gdasar]

$e^x$ на $[-\pi/2;\pi/2]$
Решил задание,но очень громоздко(2 листа А4).
$#T = \pi ; l = \frac \pi 2$#

$$a_0 = \frac 2 \pi (e^{\frac \pi 2} - e^{-\frac \pi 2})$$

$$a_n = \frac {2(-1)^n(e^{\frac \pi 2} - e^{-\frac \pi 2})} {\pi(4n^2+1)}$$

$$b_n = \frac {4n(-1)^n(e^{-\frac \pi 2} - e^{\frac \pi 2)}} {\pi(4n^2 +1)}$$

$$e^x = \frac {(e^{\frac \pi 2} - e^{-\frac \pi 2})} {\pi} + 2 \frac {(e^{\frac \pi 2} - e^{-\frac \pi 2})} {\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac {(-1)^n\cos\frac {nx} 2 - 2(-1)^n\sin\frac {nx} 2} {4n^2+1}$$

Вопрос : есть ли способ разложения быстрее? И какой?
И еще: пожалуйста,проверьте мое решение.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

Gdasar
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[ИСН]

У функции $\cos{x\over2}$ период не $\pi$. Это важно.

[Gdasar]

ИСН, будьте добры,напишите по подробней, в чем моя ошибка?

[ИСН]

Предположительно Вы хотели разложить по функциям, у которых такой период, какова длина отрезка. Я Вам указываю на то, что функции не совсем те.

[Gdasar]

ИСН, а как же тогда поступить в данном случае?

[ИСН]

Думаю, надо раскладывать по тем функциям, у которых такой период, какой надо.

[ewert]

Gdasar в сообщении #893756 писал(а):

есть ли способ разложения быстрее? И какой?

Разложите тупо по комплексным экспонентам, а потом сверните полученные комплексные коэффы по стандартным правилам к стандартным же синусам и косинусам. Выигрыш составит точно не менее 30% (но, скорее всего, и не более 60% -- увы, чудес не бывает).

Но это, естественно, лишь после того, как разберётесь с периодами (с).