ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 4

[Феликс Шмидель]

Мы решили продолжить поиск доказательства ВТФ для $n=5$ в новой теме.

Процитируем начальные результаты предыдущей темы.

Цитата:

Исходным результатом является равенство:

(1) $(a_0+a_1 g+a_2 g^2+a^3 g^3+a_4 g^4)^2=x^2-y z g^2$,

из которого мы пытаемся получить противоречие.

Здесь $g=\sqrt[5]{2}$, $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ - целые числа, $x, y, z$ - ненулевые, взаимно-простые целые числа, которые удовлетворяют уравнению Ферма: $x^5+y^5+z^5=0$.
Для доказательства (1), мы предположили, что $x$ - нечётное число, а число $y^5-z^5$ не делится на 5. Этого можно добиться, поменяв $x$, $y$ и $z$ местами. При этих предположениях, $x^2-y z g^2$ и $x^8+x^6 y z g^2+x^4 (y z)^2 g^4+x^2 (y z)^3 g^6+(y z)^4 g^8$ - взаимно-простые числа, то есть единственными общими делителями этих чисел являются делители единицы.

Из (1) следует система равенств:

(2)
$2 a_0 a_4+2 a_1 a_3+a_2^2=0$
$a_0 a_3+a_1 a_2+a_4^2=0$
$a_0 a_1+2 a_2 a_4+a_3^2=0$

Первые два равенства можно рассматривать как линейные уравнения с неизвестными $a_0$ и $a_1$.
Решая эти уравнения по правилу Крамера, получим:

(3)
$a_0=(2 a_3 a_4^2-a_2^3)/(2 (a_4 a_2-a_3^2))$
$a_1=(a_3 a_2^2-2 a_4^3)/(2 (a_4 a_2-a_3^2))$

Можно показать, что знаменатель $2 (a_4 a_2-a_3^2)$ не равен нулю.

Подставляя выражения в (3) в последнее равенство системы (2) вместо $a_0$ и $a_1$, получим

(4) $(2 a_3 a_4^2-a_2^3) (a_3 a_2^2-2 a_4^3)+4 (a_4 a_2-a_3^2)^2 (2 a_2 a_4+a_3^2)=0$.

Из (4) следует:

(5) $10 (a_2 a_4)^3-10 (a_2 a_4)^2 a_3^2+4 a_3^6=a_3 (a_2^5+4 a_4^5)$

Теперь процитируем равенства, полученные в конце предыдущей темы.

Цитата:

(6.1) $5 (a_2^5-a_3^5)=(2 a_2 a_3^2-2 a_1 a_3 a_4-5 a_2^2 a_4)(2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2)$

(6.2) $5 (a_2^5-2 a_3^5)=(2 a_2 a_3^2-2 a_1 a_3 a_4-5 a_2^2 a_4)(2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2)$

(6.3) $5 (a_1^2 a_3-2 a_2 a_4^2)=a_3 (2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2)$

(6.4) $5 (a_1 a_2^2-2 a_3^2 a_4)=-2 a_3 (2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2)$

(6.5) $5 (a_3^5-2 a_4^5)=(a_1^2 a_3-2 a_3^2 a_4) (a_0^2+4 a_1 a_4+4 a_2 a_3)$

(6.6) $5 (a_2^2 a_4)=2 a_3 (a_0^2-a_1 a_4-a_2 a_3)$

(6.7) $5 (a_2 a_4^2)=a_3 (2 a_1^2-a_0 a_2-2 a_3 a_4)$

(6.8) $5 a_4^4=a_3 (a_0 a_1 a_2-5 a_0 a_4^2-2 a_1^3+2 a_1 a_3 a_4)$

(6.9) $5 a_2^4=4 a_3 (-a_0^3+a_0 a_1 a_4+3 a_0 a_2 a_3+a_1^2 a_3-a_3^2 a_4)$

Обозначим наибольший общий делитель чисел $a_2, a_3, a_4$ через $d_0$.
Пусть $a'_2=a_2/d_0, a'_3=a_3/d_0, a'_4=a_4/d_0$

Тогда из (5) следует:

(5.1) $10 (a'_2 a'_4)^3-10 (a'_2 a'_4)^2 a'_3^2+4 a'_3^6=a'_3 (a'_2^5+4 a'_4^5)$

Цитата:

Из (5.1) следует:

(15.0)
Пусть простое число $p$, отличное от $2$ и $5$, является делителем числа $a'_3$, и $p^{k_3}$ является наибольшей степенью простого числа $p$, на которую делится $a'_3$.
Тогда число $k_3$ делится на $3$, и $p^{k_3/3}$ является наибольшой степенью простого числа $p$, на которую делится либо $a'_2$, либо $a'_4$, а другое число из этих двух не делится на $p$.

В самом деле, из (5.1) следует, что $10 (a'_2 a'_4)^3$ делится на $a'_3$, следовательно одно из чисел $a'_2^3$ и $a'_4^3$ делится на $p^{k_3}$, поскольку только одно из них делится на $p$, вследствие взаимной простоты чисел $a'_2$, $a'_3$ и $a'_4$.
Если, например, число $a'_2^3$ делится на $p^{k_3}$, то на бОльшую степень $p$ оно не делится,
иначе левая часть равенства (5.1) делилась бы на $p^{k_3+1}$, а правая часть - нет, поскольку $a'_2^5+4 a'_4^5$ не делится на $p$.

(15.1)
Пусть простое число $p=5$ является делителем числа $a'_3$, и $p^{k_3}$ является наибольшей степенью простого числа $p$, на которую делится $a'_3$.
Пусть $k_3>1$.
Тогда число $k_3-1$ делится на $3$, и $p^{(k_3-1)/3}$ является наибольшой степенью простого числа $p$, на которую делится либо $a'_2$, либо $a'_4$, а другое число из этих двух не делится на $p$.

В самом деле, из (5.1) следует, что $10 (a'_2 a'_4)^3$ делится на $a'_3$, следовательно одно из чисел $a'_2^3$ и $a'_4^3$ делится на $p^{k_3-1}$, поскольку только одно из них делится на $p$, вследствие взаимной простоты чисел $a'_2$, $a'_3$ и $a'_4$.
Если, например, число $a'_2^3$ делится на $p^{k_3-1}$, то на бОльшую степень $p$ оно не делится, иначе левая часть равенства (5.1) делилась бы на $p^{k_3+1}$, а правая часть - нет, поскольку $a'_2^5+4 a'_4^5$ не делится на $p$.

(15.2)
Пусть простое число $p=2$ является делителем числа $a'_3$, и $p^{k_3}$ является наибольшей степенью простого числа $p$, на которую делится $a'_3$.
Пусть $k_3>1$.
Тогда либо число $k_3-1$ делится на $3$, и $p^{(k_3-1)/3}$ является наибольшой степенью простого числа $p$, на которую делится число $a'_4$, либо $k_3+1$ делится на $3$, и $p^{(k_3+1)/3}$ является наибольшой степенью простого числа $p$, на которую делится число $a'_2$.

В самом деле, из (5.1) следует, что $10 (a'_2 a'_4)^3$ делится на $a'_3$, следовательно одно из чисел $a'_2^3$ и $a'_4^3$ делится на $p^{k_3-1}$, поскольку только одно из них делится на $p$, вследствие взаимной простоты чисел $a'_2$, $a'_3$ и $a'_4$.
Если число $a'_4^3$ делится на $p^{k_3-1}$, то на бОльшую степень $p$ оно не делится, иначе левая часть равенства (5.1) делилась бы на $p^{k_3+1}$, а правая часть - нет, поскольку $a'_2^5+4 a'_4^5$ не делится на $p$.
Если число $a'_2^3$ делится на $p^{k_3-1}$, то правая часть равенства (5.1) делится на $p^{k_3+2}$, поскольку $a'_2^5+4 a'_4^5$ делится на $4$, следовательно $a'_2^3$ делится на $p^{k_3+1}$, но на бОльшую степень $p$ оно не делится, иначе левая часть равенства (5.1) делилась бы на $p^{k_3+3}$, а правая часть - нет.

(15.3)
Пусть простое число $p=2$ или $p=5$ является делителем числа $a'_3$, но $p^2$ не является делителем числа $a'_3$.
Тогда ни $a'_2$, ни $a'_4$ не делится на $p$.

В самом деле, если бы произведение $a'_2 a'_4$ делилось на $p$, то левая часть равенства (5.1) делилась бы на $p^4$, а правая нет (при $p=5$, правая часть делится только на $p$, а при $p=2$ правая часть делится либо на $p$, либо на $p^3$).

Пусть $d_2$ - наибольший общий делитель чисел $a'_2$ и $a'_3$.
Пусть $d_4$ - наибольший общий делитель чисел $a'_4$ и $a'_3$.

Из утверждений (15.0), (15.1), (15.2), (15.3) следует, что $a'_3=k_0 (d_2 d_4)^3$, где $k_0$ - одно из чисел: $1, -1, 2, -2, 5, -5, 10, -10, 1/2, -1/2, 5/2, -5/2$.

Или $a'_3=(k_1/2) (d_2 d_4)^3$, где $k_1$ - одно из чисел: $2, -2, 4, -4, 10, -10, 20, -20, 1, -1, 5, -5$.

Мы немного изменили текст цитаты, сделав его более точным.
Оказывается $k_1$ может принимать не все из перечисленных значений.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Я извиняюсь, равенство (6.1) неверно, мы исправили его на (6.2).

[Феликс Шмидель]

Из (6.3) следует, что либо $a_3$ либо $y z$ делится на $5$, поскольку сомножитель в скобках в правой части равенства (6.3) равен $-y z$.
Но мы знаем, что если $y z$ делится на $5$, то $a_3$ делится на $5$:

Цитата:

Пусть теперь $y z$ делится на $p$, где $p=5$.

Числа $a_1, a_2, a_3, a_4$ делятся на $5$, вследствие равенства:

(1.1) $(a_1+a_2 g+a_3 g^2+a_4 g^3+\frac{a_0-x}{2} g^4) (a_1+a_2 g+a_3 g^2+a_4 g^3+\frac{a_0+x}{2} g^4)=-y z$.

В самом деле, разность сомножителей в левой части равенства (1.1) равна $x g^4$, поэтому оба сомножителя не могут оба делиться на простой идеал, являющийся делителем числа $5$.
В поле $\mathbb{Q}[g]$: $(5)=\rho^5$, где $\rho$ - простой идеал.
Значит, один из сомножителей равенства (1.1) делится на $5$, следовательно числа $a_1, a_2, a_3, a_4$ делятся на $5$.
Если $y z$ делится на $5^t$, где $t$ - целое положительное число, то числа $a_1, a_2, a_3, a_4$ делятся на $5^t$.

Значит, $a_3$ делится на $5$.

Пусть $5^t$ - наибольшая степень пяти, на которую делятся числа $a_2, a_3, a_4$.
Мы не исключаем случай $t=0$, в котором $x y z$ не делится на $5$.
Заметим, однако, что в этом случае, ВТФ для $n=5$ имеет простое решение, например, принадлежащее Софи Жермен.

Покажем, что если $t=0$, то числа $a_0, a_1, a_2, a_4$ не делятся на $5$.
Пусть $t=0$.
Тогда одно из чисел $a_2$ и $a_4$ не делится на $5$, поскольку $a_3$ делится на $5$.
Если $a_2$ не делится на $5$, то из первого равенства (2) следует, что $a_4$ не делится на $5$,
поскольку $a_3$ делится на $5$.
Если $a_4$ не делится на $5$, то из второго равенства (2) следует, что $a_2$ не делится на $5$,
поскольку $a_3$ делится на $5$.
Значит, оба числа $a_2$ и $a_4$ не делятся на $5$.
Из третьего равенства (2) следует, что $a_0 a_1$ не делится на $5$, поскольку $a_2 a_4$ не делится на $5$, а $a_3$ делится на $5$.
Что и требовалось.

Покажем, что либо $a_0$, либо $a_1$ не делится на $5$.
Если $t>0$, то это следует из взаимной простоты чисел $x$ и $y z$.
Если $t=0$, то мы показали, что оба числа $a_0$ и $a_1$ не делятся на $5$.

Пусть $5^{k_3}$ - наибольшая степень пяти на которую делится число $a_3/5^t$.

Из равенства (6.6) или (6.7) следует, что $3 t+1 \le t+k_3$, следовательно $k_3 \ge 1$.
Если $k_3=1$, то из $3 t+1 \le t+k_3$ следует, что $t=0$.
Следовательно, если $k_3=1$, то числа $a_2$ и $a_4$ не делятся на $5$.
Заметим, что последнее утверждение следует также из (15.3).

Обозначим наибольший общий делитель чисел $a_2, a_3, a_4$ через $d_0$.
Пусть $a'_2=a_2/d_0, a'_3=a_3/d_0, a'_4=a_4/d_0$.

Утверждение (15.1) можно теперь усилить:

(15.1.1)
Пусть простое число $p=5$ является делителем числа $a'_3$, и $p^{k_3}$ является наибольшей степенью простого числа $p$, на которую делится $a'_3$.
Тогда $k_3 \ge 1$.
Если $k_3=1$, то числа $a_2$ и $a_4$ не делятся на $5$.
Если $k_3>1$, то число $k_3-1$ делится на $3$, и $p^{(k_3-1)/3}$ является наибольшой степенью простого числа $p$, на которую делится либо $a'_2$, либо $a'_4$, а другое число из этих двух не делится на $p$.

Пусть $d_2$ - наибольший общий делитель чисел $a'_2$ и $a'_3$.
Пусть $d_4$ - наибольший общий делитель чисел $a'_4$ и $a'_3$.

Из утверждений (15.0), (15.1.1), (15.2), (15.3) следует:

(15.4) $a'_3=k_0 (d_2 d_4)^3$, где $k_0$ - одно из чисел: $5, -5, 10, -10, 5/2, -5/2$.

Или

(15.4.1) $a'_3=(k_1/2) (d_2 d_4)^3$, где $k_1$ - одно из чисел: $10, -10, 20, -20, 5, -5$.

[Феликс Шмидель]

Мы усилили утверждение (15.1).
Утверждение (15.2) тоже можно усилить, поскольку мы знаем, что $a'_2$ не делится на $2$:

Цитата:

Если $p=2$, то из равенства $2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2=-y z$ следует, что $a_1$ делится на $2$, из первого равенства (2) следует, что $a_2$ делится на $2$.
С учётом этого, из последнего равенства (2) следует, что $a_3$ делится на $2$, и из второго равенства (2) следует, что $a_4$ делится на $2$.

Заметим, что из равенства $2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2=-y z$ следует, что $y z$ делится на $4$ (поскольку мы показали, что числа $a_1, a_2, a_3, a_4$ делятся на $2$).
Если $y z$ делится на $2^t$ где $t$ - целое положительное число, то числа $a_1, a_2, a_3, a_4$ делятся на $2^{t-1}$, поскольку один из сомножителей в левой части равенства (1.1) делится на $g^4$, но не на бОльшую степень $g$, а второй сомножитель делится на $2^{t-1} g$.
Если $2^t$ - максимальная степень двойки, на которую делится $y z$, то $a_1$ делится на $2^t$ (поскольку делится на $2^{t-1} g$), а $a_2$ не делится на $2^t$ (иначе один из сомножителей левой части равенства (1.1) делился бы на $2^{t-1} g^2$).
Таким образом, числа $a_1, a_2, a_3, a_4$ делятся на $2^{t-1}$, но нельзя сказать, что все они делятся на $2^t$.

Поскольку $a'_2$ не делится на $2$, то из (5.1) следует, что $a'_3$ делится на $2$.
Утверждение (15.2) можно теперь усилить:

(15.2.1)
Пусть $p=2$.
Пусть $p^{k_3}$ является наибольшей степенью простого числа $p$, на которую делится $a'_3$.
Тогда $k_3 \ge 1$.
Если $k_3=1$, то числа $a_2$ и $a_4$ не делятся на $p$.
Если $k_3>1$, то число $k_3-1$ делится на $3$, и $p^{(k_3-1)/3}$ является наибольшой степенью простого числа $p$, на которую делится $a'_4$, а $a'_2$ не делится на $p$.

В самом деле, из (5.1) следует, что $10 (a'_2 a'_4)^3$ делится на $a'_3$, следовательно одно из чисел $a'_2^3$ и $a'_4^3$ делится на $p^{k_3-1}$, поскольку только одно из них делится на $p$, вследствие взаимной простоты чисел $a'_2$, $a'_3$ и $a'_4$.
Поскольку $a'_2$ не делится на $p$, то число $a'_4^3$ делится на $p^{k_3-1}$, но на бОльшую степень $p$ оно не делится, иначе левая часть равенства (5.1) делилась бы на $p^{k_3+1}$, а правая часть - нет, поскольку $a'_2^5+4 a'_4^5$ не делится на $p$.

Пусть $d_2$ - наибольший общий делитель чисел $a'_2$ и $a'_3$.
Пусть $d_4$ - наибольший общий делитель чисел $a'_4$ и $a'_3$.

Из утверждений (15.0), (15.1.1), (15.2.1) следует:

(15.4.2) $a'_3=10 (d_2 d_4)^3$.

Мы заметили, что в предыдущем сообщении, утверждение (15.1.1) сформулировано некорректно.
Исправим это:

(15.1.1)
Пусть $p=5$.
Пусть $p^{k_3}$ является наибольшей степенью простого числа $p$, на которую делится $a'_3$.
Тогда $k_3 \ge 1$.
Если $k_3=1$, то числа $a_2$ и $a_4$ не делятся на $p$.
Если $k_3>1$, то число $k_3-1$ делится на $3$, и $p^{(k_3-1)/3}$ является наибольшой степенью простого числа $p$, на которую делится либо $a'_2$, либо $a'_4$, а другое число из этих двух не делится на $p$.

[Феликс Шмидель]

Исправим (15.4.2):

Из утверждений (15.0), (15.1.1), (15.2.1) следует:

(15.4.2) $a'_3=10 (d_2 d_4)^3$ или $a'_3=-10 (d_2 d_4)^3$.

[Феликс Шмидель]

Если $y z$ делится на $5$, то утверждение (15.1.1) можно уточнить:

(15.1.1.1)
Пусть $p=5$, и $y z$ делится на $5$.
Пусть $p^{k_3}$ является наибольшей степенью простого числа $p$, на которую делится $a'_3$.
Тогда $k_3>1$.
Число $k_3-1$ делится на $3$, и $p^{(k_3-1)/3}$ является наибольшой степенью простого числа $p$, на которую делится $a'_4$, а $a'_2$ не делится на $p$.

В самом деле, пусть $5^t$ - наибольшая степень пяти, на которую делятся числа $a_2, a_3, a_4$.
Из $y z$ делится на $5$ следует, что $t>0$.
Из равенства (6.6) следует, что $3 t+1 \le t+k_3$, следовательно $k_3 \ge 2 t+1>1$.
Из равенства (5.1) следует, что число $(a'_2 a'_4)^3$ делится на $5$, поскольку $a'_3$ делится на $5^2$.
Поскольку числа $a_1, a_2, a_3, a_4$ делятся на $5$, то правая часть равенства (6.7) делится на бОльшую степень пяти, чем правая часть равенства (6.6).
Следовательно, левая часть равенства (6.7) делится на бОльшую степень пяти, чем левая часть равенства (6.6).
Значит $a'_4$ делится на $5$, и $a'_2$ не делится на $5$, а не наоборот.
Из равенства (5.1) следует, что $10 (a'_2 a'_4)^3$ делится на $a'_3$, следовательно одно из чисел $a'_2^3$ и $a'_4^3$ делится на $5^{k_3-1}$, поскольку только одно из них делится на $5$, вследствие взаимной простоты чисел $a'_2$, $a'_3$ и $a'_4$.
Поскольку число $a'_4$ делится на $5$, то число $a'_4^3$ делится на $5^{k_3-1}$, а на бОльшую степень $5$ оно не делится, иначе левая часть равенства (5.1) делилась бы на $5^{k_3+1}$, а правая часть - нет, поскольку $a'_2^5+4 a'_4^5$ не делится на $5$.

-- Вт авг 12, 2014 14:25:52 --

Из (15.1.1) и равенства (6.6) следует, что если $y z$ делится на $5$, то $3 t+(k_3-1)/3+1=t+k_3$, следовательно $t=(k_3-1)/3$.

[Феликс Шмидель]

Пусть теперь $a_3$ делится на простое число $p$, где $p \ne 5$ и $p \ne 2$.
Из (5) следует что $a_2 a_4$ делится на $p$, и из (2) следует, что оба числа $a_2$ и $a_4$ делятся на $p$.
Пусть $p^t$ - наибольшая степень числа $p$, на которую делятся числа $a_2, a_3, a_4$.
Из последнего равенства (2) следует, что $a_0 a_1$ делится на $p^{2 t}$.
Поскольку число $x$ взаимно-просто с $y z$, то одно из чисел $a_0$ и $a_1$ не делится на $p$.
Значит либо $a_1$ делится на $p^{2 t}$ и $a_0$ не делится на $p$, либо $a_0$ делится на $p^{2 t}$ и $a_1$ не делится на $p$.
Пусть $p^{k_3}$ - наибольшая степень числа $p$, на которую делится $a'_3$.

Из равенств (6.6) и (6.7) следует, что $k_3 \ne 0$.
В самом деле, если $k_3=0$ и $a_0$ не делится на $p$, то правая часть равенства (6.6) делится на $p^t$ и не делится на $p^{t+1}$, а левая часть равенства (6.6) делится на $p^{3 t}$.
Если $k_3=0$ и $a_1$ не делится на $p$, то правая часть равенства (6.7) делится на $p^t$ и не делится на $p^{t+1}$, а левая часть равенства (6.7) делится на $p^{3 t}$.

Если $k_3>0$ и $a_0$ не делится на $p$, то правая часть равенства (6.7) делится на бОльшую степень числа $p$, чем правая часть равенства (6.6), следовательно левая часть равенства (6.7) делится на бОльшую степень числа $p$, чем левая часть равенства (6.6).
Значит если $k_3>0$ и $a_0$ не делится на $p$, то $a'_4$ делится на $p$, и $a'_2$ не делится на $p$, а не наоборот.
Из (15.0) следует, что если $k_3>0$ и $a_0$ не делится на $p$, то $k_3$ делится на $3$, и $p^{k_3/3}$ является наибольшой степенью простого числа $p$, на которую делится $a'_4$, а $a'_2$ не делится на $p$.
Из равенства (6.6) получим, что если $k_3>0$ и $a_0$ не делится на $p$, то $3 t+k_3/3=t+k_3$, следовательно $t=k_3/3$.

Если $k_3>0$ и $a_1$ не делится на $p$, то правая часть равенства (6.6) делится на бОльшую степень числа $p$, чем правая часть равенства (6.7), следовательно левая часть равенства (6.6) делится на бОльшую степень числа $p$, чем левая часть равенства (6.7).
Значит если $k_3>0$ и $a_1$ не делится на $p$, то $a'_2$ делится на $p$, и $a'_4$ не делится на $p$, а не наоборот.
Из (15.0) следует, что если $k_3>0$ и $a_1$ не делится на $p$, то $k_3$ делится на $3$, и $p^{k_3/3}$ является наибольшой степенью простого числа $p$, на которую делится $a'_2$, а $a'_4$ не делится на $p$.
Из равенства (6.7) получим, что если $k_3>0$ и $a_1$ не делится на $p$, то $3 t+k_3/3=t+k_3$, следовательно $t=k_3/3$.

Напомним, что мы обозначили наибольший общий делитель чисел $a_2, a_3, a_4$ через $d_0$, и
$a'_2=a_2/d_0, a'_3=a_3/d_0, a'_4=a_4/d_0$.

Мы получили следующий результат:

(15.0.1)
Пусть $a_3$ делится на простое число $p$, где $p \ne 5$ и $p \ne 2$.
Пусть $p^t$ - наибольшая степень числа $p$, на которую делятся числа $a_2, a_3, a_4$.
Тогда $t>0$.

Пусть $p^{k_3}$ - наибольшая степень числа $p$, на которую делится $a'_3$.
Тогда $k_3>0$, $k_3$ делится на $3$ и $t=k_3/3$.

Одно из чисел $a_0$ и $a_1$ делится на $p^{2 t}$, а другое не делится на $p$.
Если $a_0$ не делится на $p$, то $p^{k_3/3}$ является наибольшой степенью $p$, на которую делится $a'_4$, а $a'_2$ не делится на $p$.
Если $a_1$ не делится на $p$, то $p^{k_3/3}$ является наибольшой степенью $p$, на которую делится $a'_2$, а $a'_4$ не делится на $p$.

[Феликс Шмидель]

Я нахожу изложение в этой теме неудовлетворительным.
Результаты неполные и были приведены с ошибками, которые пришлось исправлять.
Равенства (6.6) и (6.7) не были проверены.
Для устранения этих недостатков начнём тему сначала.
====================================================================

Мы решили продолжить поиск доказательства ВТФ для $n=5$ в новой теме.

Процитируем начальные результаты предыдущей темы.

Цитата:

Исходным результатом является равенство:

(1) $(a_0+a_1 g+a_2 g^2+a^3 g^3+a_4 g^4)^2=x^2-y z g^2$,

из которого мы пытаемся получить противоречие.

Здесь $g=\sqrt[5]{2}$, $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ - целые числа, $x, y, z$ - ненулевые, взаимно-простые целые числа, которые удовлетворяют уравнению Ферма: $x^5+y^5+z^5=0$.
Для доказательства (1), мы предположили, что $x$ - нечётное число, а число $y^5-z^5$ не делится на 5. Этого можно добиться, поменяв $x$, $y$ и $z$ местами. При этих предположениях, $x^2-y z g^2$ и $x^8+x^6 y z g^2+x^4 (y z)^2 g^4+x^2 (y z)^3 g^6+(y z)^4 g^8$ - взаимно-простые числа, то есть единственными общими делителями этих чисел являются делители единицы.

Из (1) следует система равенств:

(2)
$2 a_0 a_4+2 a_1 a_3+a_2^2=0$
$a_0 a_3+a_1 a_2+a_4^2=0$
$a_0 a_1+2 a_2 a_4+a_3^2=0$

Первые два равенства можно рассматривать как линейные уравнения с неизвестными $a_0$ и $a_1$.
Решая эти уравнения по правилу Крамера, получим:

(3)
$a_0=(2 a_3 a_4^2-a_2^3)/(2 (a_4 a_2-a_3^2))$
$a_1=(a_3 a_2^2-2 a_4^3)/(2 (a_4 a_2-a_3^2))$

Можно показать, что знаменатель $2 (a_4 a_2-a_3^2)$ не равен нулю.

Подставляя выражения в (3) в последнее равенство системы (2) вместо $a_0$ и $a_1$, получим

(4) $(2 a_3 a_4^2-a_2^3) (a_3 a_2^2-2 a_4^3)+4 (a_4 a_2-a_3^2)^2 (2 a_2 a_4+a_3^2)=0$.

Из (4) следует:

(5) $10 (a_2 a_4)^3-10 (a_2 a_4)^2 a_3^2+4 a_3^6=a_3 (a_2^5+4 a_4^5)$

Теперь процитируем равенства, полученные в конце предыдущей темы.

Цитата:

(6.2) $5 (a_2^5-2 a_3^5)=(2 a_2 a_3^2-2 a_1 a_3 a_4-5 a_2^2 a_4)(2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2)$

(6.3) $5 (a_1^2 a_3-2 a_2 a_4^2)=a_3 (2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2)$

(6.4) $5 (a_1 a_2^2-2 a_3^2 a_4)=-2 a_3 (2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2)$

(6.5) $5 (a_3^5-2 a_4^5)=(a_1^2 a_3-2 a_3^2 a_4) (a_0^2+4 a_1 a_4+4 a_2 a_3)$

(6.6) $5 (a_2^2 a_4)=2 a_3 (a_0^2-a_1 a_4-a_2 a_3)$

(6.7) $5 (a_2 a_4^2)=a_3 (2 a_1^2-a_0 a_2-2 a_3 a_4)$

Равенства (6.6) и (6.7) не были проверены в предыдущей теме.
Эти равенства найдены с помощью следующего кода в программе "Reduce":

load_package groebner;
torder({a0, a1, a2, a3, a4}, lex)$
groebnert{g1=2*a0*a4+2*a1*a3+a2^2, g2=a0*a3+a1*a2+a4^2, g3=a0*a1+2*a2*a4+a3^2, g4=a3};

Проверим равенство (6.6) в программе "Reduce":

g1:=2*a0*a4+2*a1*a3+a2^2;
g2:=a0*a3+a1*a2+a4^2;
g3:=a0*a1+2*a2*a4+a3^2;
g4:=a3;

f1:=a4;
f2:=-2*a0;
f3:=2*a2;
f4:=2*(a0^2-a1*a4-a2*a3);

f1*g1+f2*g2+f3*g3+f4*g4;

Проверено.

Проверим равенство (6.7) в программе "Reduce":

g1:=2*a0*a4+2*a1*a3+a2^2;
g2:=a0*a3+a1*a2+a4^2;
g3:=a0*a1+2*a2*a4+a3^2;
g4:=a3;

f1:=-a1;
f2:=a2;
f3:=2*a4;
f4:=2*a1^2-a0*a2-2*a3*a4;

f1*g1+f2*g2+f3*g3+f4*g4;

Проверено.

Обозначим наибольший общий делитель чисел $a_2, a_3, a_4$ через $d_0$.
Пусть $a'_2=a_2/d_0, a'_3=a_3/d_0, a'_4=a_4/d_0$

Тогда из (5) следует:

(5.1) $10 (a'_2 a'_4)^3-10 (a'_2 a'_4)^2 a'_3^2+4 a'_3^6=a'_3 (a'_2^5+4 a'_4^5)$


Покажем, что имеют место следующие утверждения:

(15.0)
Пусть $a_3$ делится на простое число $p$, где $p \ne 5$ и $p \ne 2$.
Пусть $p^t$ - наибольшая степень числа $p$, на которую делятся числа $a_2, a_3, a_4$.
Пусть $p^{k_3}$ - наибольшая степень числа $p$, на которую делится $a'_3$.
Тогда $t>0$, $k_3>0$, $k_3$ делится на $3$ и $t=k_3/3$.

Одно из чисел $a_0$ и $a_1$ делится на $p$, а другое не делится на $p$.

Если $a_0$ не делится на $p$, то $p^t$ является наибольшой степенью $p$, на которую делится $a'_4$, и $a'_2$ не делится на $p$.
В этом случае, наибольшими степенями $p$, на которые делятся числа $a_1, a_2, a_3, a_4$ являются соответственно $p^{3 t}, p^{t}, p^{4 t}, p^{2 t}$.

Если $a_1$ не делится на $p$, то $p^t$ является наибольшой степенью $p$, на которую делится $a'_2$, и $a'_4$ не делится на $p$.
В этом случае, наибольшими степенями $p$, на которые делятся числа $a_0, a_2, a_3, a_4$ являются соответственно $p^{3 t}, p^{2 t}, p^{4 t}, p^{t}$.

(15.1)
Пусть $5^t$ - наибольшая степень пяти, на которую делятся числа $a_2, a_3, a_4$.
Пусть $5^{k_3}$ является наибольшей степенью пяти, на которую делится $a'_3$.
Тогда $k_3 \ge 1$, $k_3-1$ делится на $3$ и $t=(k_3-1)/3$.

Если $t=0$, то числа $a_0, a_1, a_2, a_4$ не делятся на $5$, и числа $x, y, z$ не делятся на $5$.

Пусть $k_3>1$.
Тогда одно из чисел $a_0, a_1$ делится на $5$, а другое нет.

Если $a_0$ не делится на $5$, то $5^t$ является наибольшой степенью пяти, на которую делится $a'_4$, и $a'_2$ не делится на $5$.
В этом случае, наибольшими степенями пяти, на которые делятся числа $a_1, a_2, a_3, a_4$ являются соответственно $5^{3 t}, 5^{t}, 5^{4 t+1}, 5^{2 t}$.

Если $a_1$ не делится на $5$, то $5^t$ является наибольшой степенью пяти, на которую делится $a'_2$, и $a'_4$ не делится на $5$.
В этом случае, наибольшими степенями пяти, на которые делятся числа $a_0, a_2, a_3, a_4$ являются соответственно $5^{3 t}, 5^{2 t}, 5^{4 t+1}, 5^{t}$.

(15.2)
Пусть $2^t$ - наибольшая степень двух, на которую делятся числа $a_2, a_3, a_4$.
Пусть $2^{k_3}$ является наибольшей степенью двух, на которую делится $a'_3$.
Тогда $t>1$, $k_3>1$, $k_3-1$ делится на $3$ и $t=(k_3+2)/3$.

Число $2^{t-1}$ является наибольшой степенью двух, на которую делится $a'_4$, и $a'_2$ не делится на $2$.
Наибольшими степенями двух, на которые делятся числа $a_1, a_2, a_3, a_4$ являются соответственно $2^{3 t}, 2^{t}, 2^{4 t-2}, 2^{2 t-1}$.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Доказательство утверждения (15.0)
--------------------------------------------

Поскольку $a_3$ делится на $p$ по условию, то из (5) следует что $a_2 a_4$ делится на $p$, и из первых двух равенств (2) следует, что оба числа $a_2$ и $a_4$ делятся на $p$.
Значит $t>0$.

Из последнего равенства (2) следует, что $a_0 a_1$ делится на $p$.
Поскольку число $x$ взаимно-просто с $y z$, то одно из чисел $a_0$ и $a_1$ не делится на $p$.

Покажем, что $k_3 \ne 0$.
Предположим, что это не так и $k_3=0$.
Если $a_0$ не делится на $p$, то правая часть равенства (6.6) делится на $p^t$ и не делится на $p^{t+1}$, а левая часть равенства (6.6) делится на $p^{3 t}$.
Если $a_1$ не делится на $p$, то правая часть равенства (6.7) делится на $p^t$ и не делится на $p^{t+1}$, а левая часть равенства (6.7) делится на $p^{3 t}$.
Поскольку $t>0$, то оба случая невозможны.
Значит $k_3 \ne 0$.
Что и требовалось.

Поскольку $k_3>0$, то $a'_3$ делится на $p$.
Следовательно хотя бы одно из чисел $a'_2, a'_4$ не делится на $p$, поскольку числа $a'_2, a'_3, a'_4$ взаимно-просты.

Рассмотрим два случая.

1) $a_0$ не делится на $p$ и $a_1$ делится на $p$.

В этом случае, правая часть равенства (6.7) делится на бОльшую степень числа $p$, чем правая часть равенства (6.6), следовательно левая часть равенства (6.7) делится на бОльшую степень числа $p$, чем левая часть равенства (6.6).
Значит $a'_4$ делится на $p$, и $a'_2$ не делится на $p$.
Из (5.1) следует, что $10 (a'_2 a'_4)^3$ делится на $a'_3$, следовательно число $a'_4^3$ делится на $p^{k_3}$, но на бОльшую степень $p$ оно не делится, иначе левая часть равенства (5.1) делилась бы на $p^{k_3+1}$, а правая часть - нет, поскольку $a'_2^5+4 a'_4^5$ не делится на $p$.
Значит $k_3$ делится на $3$ и $p^{k_3/3}$ является наибольшой степенью $p$, на которую делится $a'_4$, и $a'_2$ не делится на $p$.

Из равенства (6.6) получим, что $3 t+k_3/3=t+k_3$, следовательно $t=k_3/3$.

Наибольшими степенями $p$, на которые делятся числа $a_2, a_3, a_4$ являются соответственно $p^{t}, p^{t+k_3}, p^{t+k_3/3}$ или $p^{t}, p^{4 t}, p^{2 t}$.
С учётом этого, из последнего равенства (2) следует, что наибольшей степенью $p$, на которую делится число $a_1$ является $p^{3 t}$.

2) $a_1$ не делится на $p$ и $a_0$ делится на $p$.

В этом случае, правая часть равенства (6.6) делится на бОльшую степень числа $p$, чем правая часть равенства (6.7), следовательно левая часть равенства (6.6) делится на бОльшую степень числа $p$, чем левая часть равенства (6.7).
Значит $a'_2$ делится на $p$, и $a'_4$ не делится на $p$.
Из (5.1) следует, что $10 (a'_2 a'_4)^3$ делится на $a'_3$, следовательно число $a'_2^3$ делится на $p^{k_3}$, но на бОльшую степень $p$ оно не делится, иначе левая часть равенства (5.1) делилась бы на $p^{k_3+1}$, а правая часть - нет, поскольку $a'_2^5+4 a'_4^5$ не делится на $p$.
Значит $k_3$ делится на $3$ и $p^{k_3/3}$ является наибольшой степенью $p$, на которую делится $a'_2$, и $a'_4$ не делится на $p$.

Из равенства (6.7) получим, что $3 t+k_3/3=t+k_3$, следовательно $t=k_3/3$.

Наибольшими степенями $p$, на которые делятся числа $a_2, a_3, a_4$ являются соответственно $p^{t+k_3/3}, p^{t+k_3}, p^{t}$ или $p^{2 t}, p^{4 t}, p^{t}$.
С учётом этого, из последнего равенства (2) следует, что наибольшей степенью $p$, на которую делится число $a_0$ является $p^{3 t}$.

Что и требовалось.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Исправим опечатку, которая упорно переходит из темы в тему:

Цитата:

Исходным результатом является равенство:

(1) $(a_0+a_1 g+a_2 g^2+a^3 g^3+a_4 g^4)^2=x^2-y z g^2$

исправляется на:

Цитата:

Исходным результатом является равенство:

(1) $(a_0+a_1 g+a_2 g^2+a_3 g^3+a_4 g^4)^2=x^2-y z g^2$

Перекопируем из предыдущей темы код, проверяющий равенство (6.3) в программе "Reduce":

g1:=2*a0*a4+2*a1*a3+a2^2;
g2:=a0*a3+a1*a2+a4^2;
g3:=a0*a1+2*a2*a4+a3^2;
g4:=2*a0*a2+4*a3*a4+a1^2;

f1:=2*a1;
f2:=-2*a2;
f3:=-4*a4;
f4:=a3;

f1*g1+f2*g2+f3*g3+f4*g4;

Проверено.

Перекопируем из предыдущей темы код, проверяющий равенство (6.5) в программе "Reduce":

g1:=2*a0*a4+2*a1*a3+a2^2;
g2:=a0*a3+a1*a2+a4^2;
g3:=a0*a1+2*a2*a4+a3^2;
g4:=a0^2+4*a1*a4+4*a2*a3;

f1:=a0*a3^2-2*a1^2*a4+a1*a2*a3+5*a3*a4^2;
f2:=-a0*a1^2-7*a1*a3^2-a2^2*a3-10*a4^3;
f3:=a1^2*a2+5*a1*a4^2-2*a2*a3*a4+5*a3^3;
f4:=a1^2*a3-2*a3^2*a4;

f1*g1+f2*g2+f3*g3+f4*g4;

Проверено.

Доказательство утверждения (15.1)
--------------------------------------------

Из (6.3) следует, что либо $a_3$, либо $y z$ делится на $5$, поскольку сомножитель в скобках в правой части равенства (6.3) равен $-y z$.
Но мы знаем, что если $y z$ делится на $5$, то $a_3$ делится на $5$:

Цитата:

Пусть $y z$ делится $5$.

Числа $a_1, a_2, a_3, a_4$ делятся на $5$, вследствие равенства:

(1.1) $(a_1+a_2 g+a_3 g^2+a_4 g^3+\frac{a_0-x}{2} g^4) (a_1+a_2 g+a_3 g^2+a_4 g^3+\frac{a_0+x}{2} g^4)=-y z$.

В самом деле, разность сомножителей в левой части равенства (1.1) равна $x g^4$, поэтому оба сомножителя не могут оба делиться на простой идеал, являющийся делителем числа $5$.
В поле $\mathbb{Q}[g]$: $(5)=\rho^5$, где $\rho$ - простой идеал.
Значит, один из сомножителей равенства (1.1) делится на $5$, следовательно числа $a_1, a_2, a_3, a_4$ делятся на $5$.

Значит, $a_3$ делится на $5$.

Покажем, что если $x$ делится на $5$, то числа $a_0, a_2, a_3, a_4$ делятся на $5$, а число $a_1$ не делится на $5$.
Пусть $x$ делится на $5$.
Тогда правая часть равенства (6.5) делится на $125$, поскольку $a_3$ делится на $5$, и второй сомножитель в этой правой части равен $x^2$.
Следовательно, левая часть равенства (6.5) делится на $125$.
Следовательно, $a_4$ делится на $5$.
Поскольку числа $a_3$ и $a_4$ делятся на $5$, то из первого равенства (2) следует, что $a_2$ делится на $5$, а из третьего равенства (2) следует, что $a_0 a_1$ делится на $5$.
Поскольку $2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2=-y z$ не делится на $5$, в силу взаимной простоты $y z$ c $x$, то $a_1$ не делится на $5$.
Следовательно, $a_0$ делится на $5$, поскольку $a_0 a_1$ делится на $5$.
Что и требовалось.

Покажем, что если $t=0$, то числа $a_0, a_1, a_2, a_4, x, y, z$ не делятся на $5$, а число $a_3$ не делится на $5^2$.
Пусть $t=0$.
Тогда одно из чисел $a_2$ и $a_4$ не делится на $5$, поскольку $a_3$ делится на $5$.
Если $a_2$ не делится на $5$, то из первого равенства (2) следует, что $a_4$ не делится на $5$.
Если $a_4$ не делится на $5$, то из второго равенства (2) следует, что $a_2$ не делится на $5$.
Значит, оба числа $a_2$ и $a_4$ не делятся на $5$.
Из третьего равенства (2) следует, что $a_0 a_1$ не делится на $5$, поскольку $a_2 a_4$ не делится на $5$, а $a_3$ делится на $5$.
Левая часть равенства (6.6) не делится на $5^2$, поскольку числа $a_2$ и $a_4$ не делятся на $5$.
Значит и правая часть равенства (6.6) не делится на $5^2$, следовательно $a_3$ не делится на $5^2$.
Мы показали, что если $x$ или $y z$ делится на $5$, то числа $a_2, a_3, a_4$ делятся на $5$.
Значит, числа $x, y, z$ не делятся на $5$.
Что и требовалось.

Если $t=0$, то $k_3=1$, поскольку $a_3$ делится на $5$ и не делится на $5^2$.

Пусть теперь $t>0$.

Тогда числа $a_2, a_3, a_4$ делятся на $5$.
Из третьего равенства (2) следует, что $a_0 a_1$ делится на $5$.
Если $a_1$ делится на $5$, то $2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2=-y z$ делится на $5$.
Если $a_0$ делится на $5$, то $a_0^2+4 a_1 a_4+4 a_2 a_3=x^2$ делится на $5$.
Значит, одно из чисел $a_0, a_1$ делится на $5$, а другое нет, в силу взаимной простоты чисел $x$ и $y z$.

Покажем, что $k_3>2$.
Если $a_0$ не делится на $5$, то правая часть равенства (6.6) делится на $5^{t+k_3}$ и не делится на $5^{t+k_3+1}$, а левая часть равенства (6.6) делится на $5^{3 t+1}$.
Если $a_1$ не делится на $p$, то правая часть равенства (6.7) делится на $5^{t+k_3}$ и не делится на $5^{t+k_3+1}$, а левая часть равенства (6.7) делится на $5^{3 t+1}$.
В обоих случаях, $t+k_3+1>3 t+1$, следовательно $k_3>2 t$.
Следовательно, $k_3>2$, поскольку $t>0$.
Что и требовалось.

Поскольку $k_3>0$, то $a'_3$ делится на $5$.
Следовательно хотя бы одно из чисел $a'_2, a'_4$ не делится на $5$, поскольку числа $a'_2, a'_3, a'_4$ взаимно-просты.

Рассмотрим два случая.

1) $a_0$ не делится на $5$ и $a_1$ делится на $5$.

В этом случае, правая часть равенства (6.7) делится на бОльшую степень пяти, чем правая часть равенства (6.6), следовательно левая часть равенства (6.7) делится на бОльшую степень пяти, чем левая часть равенства (6.6).
Значит $a'_4$ делится на $5$, и $a'_2$ не делится на $5$.

Из (5.1) следует, что $10 (a'_2 a'_4)^3$ делится на $a'_3$, следовательно число $a'_4^3$ делится на $5^{k_3-1}$, но на бОльшую степень пяти оно не делится, иначе левая часть равенства (5.1) делилась бы на $5^{k_3+1}$, а правая часть - нет, поскольку $a'_2^5+4 a'_4^5$ не делится на $5$.
Значит $k_3-1$ делится на $3$ и $5^{(k_3-1)/3}$ является наибольшой степенью пяти, на которую делится $a'_4$, и $a'_2$ не делится на $5$.

Из равенства (6.6) получим, что $3 t+(k_3-1)/3+1=t+k_3$, следовательно $t=(k_3-1)/3$.

Наибольшими степенями пяти, на которые делятся числа $a_2, a_3, a_4$ являются соответственно $5^t, 5^{t+k_3}, 5^{t+(k_3-1)/3}$ или $5^t, 5^{4 t+1}, 5^{2 t}$.
С учётом этого, из последнего равенства (2) следует, что наибольшей степенью пяти, на которую делится число $a_1$ является $5^{3 t}$.

2) $a_1$ не делится на $5$ и $a_0$ делится на $5$.

В этом случае, правая часть равенства (6.6) делится на бОльшую степень числа пяти, чем правая часть равенства (6.7), следовательно левая часть равенства (6.6) делится на бОльшую степень пяти, чем левая часть равенства (6.7).
Значит $a'_2$ делится на $5$, и $a'_4$ не делится на $5$.
Из (5.1) следует, что $10 (a'_2 a'_4)^3$ делится на $a'_3$, следовательно число $a'_2^3$ делится на $5^{k_3-1}$, но на бОльшую степень пяти оно не делится, иначе левая часть равенства (5.1) делилась бы на $5^{k_3+1}$, а правая часть - нет, поскольку $a'_2^5+4 a'_4^5$ не делится на $5$.
Значит $k_3-1$ делится на $3$ и $5^{(k_3-1)/3}$ является наибольшой степенью пяти, на которую делится $a'_2$, и $a'_4$ не делится на $5$.

Из равенства (6.7) получим, что $3 t+(k_3-1)/3+1=t+k_3$, следовательно $t=(k_3-1)/3$.

Наибольшими степенями пяти, на которые делятся числа $a_2, a_3, a_4$ являются соответственно $5^{t+(k_3-1)/3}, 5^{t+k_3}, 5^t$ или $5^{2 t}, 5^{4 t+1}, 5^t$.
С учётом этого, из последнего равенства (2) следует, что наибольшей степенью пяти, на которую делится число $a_0$ является $5^{3 t}$.

Что и требовалось.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Исправим опечатку в последнем доказательстве:

Цитата:

Если $a_1$ не делится на $p$, то правая часть равенства (6.7) делится на $5^{t+k_3}$ и не делится на $5^{t+k_3+1}$, а левая часть равенства (6.7) делится на $5^{3 t+1}$.

исправляется на:

Цитата:

Если $a_1$ не делится на $5$, то правая часть равенства (6.7) делится на $5^{t+k_3}$ и не делится на $5^{t+k_3+1}$, а левая часть равенства (6.7) делится на $5^{3 t+1}$.

[Феликс Шмидель]

В (15.2) утверждается, что $t>1$, $k_3>1$, но мы можем доказать только, что $t>0$, $k_3>0$.

Исправим утверждение (15.2):

(15.2)
Пусть $2^t$ - наибольшая степень двух, на которую делятся числа $a_2, a_3, a_4$.
Пусть $2^{k_3}$ является наибольшей степенью двух, на которую делится $a'_3$.
Тогда $t>0$, $k_3>0$, $k_3-1$ делится на $3$ и $t=(k_3+2)/3$.

Число $2^{t-1}$ является наибольшой степенью двух, на которую делится $a'_4$, и $a'_2$ не делится на $2$.
Наибольшими степенями двух, на которые делятся числа $a_1, a_2, a_3, a_4$ являются соответственно $2^{3 t}, 2^{t}, 2^{4 t-2}, 2^{2 t-1}$.

Доказательство
--------------------

Из равенства $2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2=-y z$ следует, что $a_1$ делится на $2$, из первого равенства (2) следует, что $a_2$ делится на $2$.
С учётом этого, из третьего равенства (2) следует, что $a_3$ делится на $2$, и из второго равенства (2) следует, что $a_4$ делится на $2$.
Значит $t>0$.
Поскольку $x$ не делится на $2$, то $a_0$ не делится на $2$, и из третьего равенства (2) следует, что $a_1$ делится на $2^{2 t}$.
Из первого равенства (2) следует, что $a_4$ делится на $2^{2 t-1}$.
С учётом этого, из второго равенства (2) следует, что $a_3$ делится на $2^{3 t}$.
С учётом этого, из третьего равенства (2) следует, что $a_1$ делится на $2^{3 t}$.
С учётом этого, из второго равенства (2) следует, что $a_3$ делится на $2^{4 t-2}$.
Значит, $a_1$ делится на $2^{3 t}$, $a_2$ делится на $2^t$, $a_3$ делится на $2^{4 t-2}$, $a_4$ делится на $2^{2 t-1}$.

Покажем, что $a_2$ не делится на $2^{t+1}$.
Предположим, что это не так, и $a_2$ делится на $2^{t+1}$.
Тогда из первого равенства (2) следует, что $a_4$ делится на $2^{2 t+1}$.
Следовательно, числа $a_2, a_3, a_4$ делятся на $2^{t+1}$.
Это противоречит тому, что $2^t$ - наибольшая степень двух, на которую делятся числа $a_2, a_3, a_4$.
Значит, $a_2$ не делится на $2^{t+1}$.
Что и требовалось.

С учётом этого, из первого равенства (2) следует, что $a_4$ не делится на $2^{2 t}$.
С учётом этого, из второго равенства (2) следует, что $a_3$ не делится на $2^{4 t-1}$, и из третьего равенства (2) следует, что $a_1$ не делится на $2^{3 t+1}$.
Значит, наибольшими степенями двух, на которые делятся числа $a_1, a_2, a_3, a_4$ являются соответственно $2^{3 t}, 2^{t}, 2^{4 t-2}, 2^{2 t-1}$.
Следовательно, число $2^{t-1}$ является наибольшой степенью двух, на которую делится $a'_4$, и $a'_2$ не делится на $2$.
Поскольку наибольшей степенью двух, на которую делится $a_3$ является $2^{t+k_3}$, то $k_3=3 t-2$.
Следовательно, $k_3-1$ делится на $3$ и $t=(k_3+2)/3$.
Что и требовалось.

[Феликс Шмидель]

Это доказательство утверждения (15.2) показывает, что тем же способом можно было доказывать утверждения (15.0) и (15.1) без использования равенств (6.6), (6.7) и (5.1).
Формулировки утверждений (15.0), (15.1) и (15.2) можно упростить, не вводя $k_3$:

(15.0)
Пусть $a_3$ делится на простое число $p$, где $p \ne 5$ и $p \ne 2$.
Пусть $p^t$ - наибольшая степень числа $p$, на которую делятся числа $a_2, a_3, a_4$.
Тогда $t>0$.

Одно из чисел $a_0$ и $a_1$ делится на $p$, а другое не делится на $p$.

Если $a_0$ не делится на $p$, то наибольшими степенями $p$, на которые делятся числа $a_1, a_2, a_3, a_4$ являются соответственно $p^{3 t}, p^{t}, p^{4 t}, p^{2 t}$.

Если $a_1$ не делится на $p$, то наибольшими степенями $p$, на которые делятся числа $a_0, a_2, a_3, a_4$ являются соответственно $p^{3 t}, p^{2 t}, p^{4 t}, p^{t}$.

(15.1)
Пусть $5^t$ - наибольшая степень пяти, на которую делятся числа $a_2, a_3, a_4$.
Если $t=0$, то числа $a_0, a_1, a_2, a_4$ не делятся на $5$, и числа $x, y, z$ не делятся на $5$.

Пусть $t>0$.
Тогда одно из чисел $a_0, a_1$ делится на $5$, а другое нет.

Если $a_0$ не делится на $5$, наибольшими степенями пяти, на которые делятся числа $a_1, a_2, a_3, a_4$ являются соответственно $5^{3 t}, 5^{t}, 5^{4 t+1}, 5^{2 t}$.

Если $a_1$ не делится на $5$, то наибольшими степенями пяти, на которые делятся числа $a_0, a_2, a_3, a_4$ являются соответственно $5^{3 t}, 5^{2 t}, 5^{4 t+1}, 5^{t}$.

(15.2)
Пусть $2^t$ - наибольшая степень двух, на которую делятся числа $a_2, a_3, a_4$.
Тогда $t>0$.

Наибольшими степенями двух, на которые делятся числа $a_1, a_2, a_3, a_4$ являются соответственно $2^{3 t}, 2^{t}, 2^{4 t-2}, 2^{2 t-1}$.

[Феликс Шмидель]

Мы доказали эти утверждения, но мы попробуем доказать (15.0) и (15.1) тем же способом, которым мы доказали (15.2) из равенств (2).

Перекопируем равенства (2), которые мы будем использовать:

(2)
$2 a_0 a_4+2 a_1 a_3+a_2^2=0$
$a_0 a_3+a_1 a_2+a_4^2=0$
$a_0 a_1+2 a_2 a_4+a_3^2=0$

Лемма
---------

Пусть $p$ - простое число, отличное от $2$.
Пусть $p^t$ - наибольшая степень числа $p$, на которую делятся числа $a_2, a_3, a_4$.
Пусть $t>0$.
Тогда одно из чисел $a_0$ и $a_1$ делится на $p$, а другое нет.

Число $a_3$ делится на $p^{4 t}$.

Если $a_0$ не делится на $p$, то наибольшими степенями $p$, на которые делятся числа $a_1, a_2, a_4$ являются соответственно $p^{3 t}, p^{t}, p^{2 t}$.

Если $a_1$ не делится на $p$, то наибольшими степенями $p$, на которые делятся числа $a_0, a_2, a_4$ являются соответственно $p^{3 t}, p^{2 t}, p^{t}$.

Доказательство
---------------------

Из третьего равенства (2) следует, что $a_0 a_1$ делится на $p$, поскольку числа $a_2, a_3, a_4$ делятся на $p$.
Оба числа $a_0$ и $a_1$ не делятся на $p$, в силу взаимной простоты чисел $x$ и $y z$.
Значит одно из чисел $a_0$ и $a_1$ делится на $p$, а другое нет.
Рассмотрим два случая.

1) $a_0$ не делится на $p$ и $a_1$ делится на $p$.

Из третьего равенства (2) следует, что $a_1$ делится на $2^{2 t}$.
С учётом этого, из первого равенства (2) следует, что $a_4$ делится на $2^{2 t}$.
С учётом этого, из второго равенства (2) следует, что $a_3$ делится на $2^{3 t}$.
С учётом этого, из третьего равенства (2) следует, что $a_1$ делится на $2^{3 t}$.
С учётом этого, из второго равенства (2) следует, что $a_3$ делится на $2^{4 t}$.
Значит, $a_1$ делится на $2^{3 t}$, $a_2$ делится на $2^t$, $a_3$ делится на $2^{4 t}$, $a_4$ делится на $2^{2 t}$.

Число $a_2$ не делится на $2^{t+1}$, иначе числа $a_2, a_3, a_4$ делятся на $2^{t+1}$, в противоречии с тем, что $2^t$ - наибольшая степень двух, на которую делятся числа $a_2, a_3, a_4$.

С учётом этого, из первого равенства (2) следует, что $a_4$ не делится на $2^{2 t+1}$.
С учётом этого, из третьего равенства (2) следует, что $a_1$ не делится на $2^{3 t+1}$.
Значит, наибольшими степенями двух, на которые делятся числа $a_1, a_2, a_4$ являются соответственно $2^{3 t}, 2^{t}, 2^{2 t}$.

1) $a_1$ не делится на $p$ и $a_0$ делится на $p$.

Из третьего равенства (2) следует, что $a_0$ делится на $2^{2 t}$.
С учётом этого, из второго равенства (2) следует, что $a_2$ делится на $2^{2 t}$.
С учётом этого, из первого равенства (2) следует, что $a_3$ делится на $2^{3 t}$.
С учётом этого, из третьего равенства (2) следует, что $a_0$ делится на $2^{3 t}$.
С учётом этого, из первого равенства (2) следует, что $a_3$ делится на $2^{4 t}$.
Значит, $a_0$ делится на $2^{3 t}$, $a_2$ делится на $2^{2 t}$, $a_3$ делится на $2^{4 t}$, $a_4$ делится на $2^t$.

Число $a_4$ не делится на $2^{t+1}$, иначе числа $a_2, a_3, a_4$ делятся на $2^{t+1}$, в противоречии с тем, что $2^t$ - наибольшая степень двух, на которую делятся числа $a_2, a_3, a_4$.

С учётом этого, из второго равенства (2) следует, что $a_2$ не делится на $2^{2 t+1}$.
С учётом этого, из третьего равенства (2) следует, что $a_0$ не делится на $2^{3 t+1}$.
Значит, наибольшими степенями двух, на которые делятся числа $a_1, a_2, a_4$ являются соответственно $2^{3 t}, 2^{2 t}, 2^t$.

Что и требовалось.

Эта лемма не доказывает, что наибольшей степенью $p$, на которую делится число $a_3$ является $p^{4 t}$, если $p \ne 5$, и $p^{4 t+1}$, если $p=5$.

Это следует из равенства (5.1).
Я пока не вижу, как вывести это из непосредственно из равенств (2).

[Феликс Шмидель]

Внесём небольшое дополнение в утверждение (15.1), которое мы уже доказали:

(15.1)
Пусть $5^t$ - наибольшая степень пяти, на которую делятся числа $a_2, a_3, a_4$.
Если $t=0$, то числа $a_0, a_1, a_2, a_4$ не делятся на $5$, и числа $x, y, z$ не делятся на $5$, а число $a_3$ делится на $5$ и не делится на $25$.

Пусть $t>0$.
Тогда одно из чисел $a_0, a_1$ делится на $5$, а другое нет.

Если $a_0$ не делится на $5$, наибольшими степенями пяти, на которые делятся числа $a_1, a_2, a_3, a_4$ являются соответственно $5^{3 t}, 5^{t}, 5^{4 t+1}, 5^{2 t}$.

Если $a_1$ не делится на $5$, то наибольшими степенями пяти, на которые делятся числа $a_0, a_2, a_3, a_4$ являются соответственно $5^{3 t}, 5^{2 t}, 5^{4 t+1}, 5^{t}$.


Разница с предыдущей версией (15.1) заключается в том, что если $t=0$, то число $a_3$ делится на $5$ и не делится на $25$.

Докажем теперь следующее утверждение:

(15.4)
Пусть $d_0$ - наибольший общий делитель чисел $a_2, a_3, a_4$ ($d_0>0$).
Пусть $a'_2=a_2/d_0, a'_3=a_3/d_0, a'_4=a_4/d_0$.

Пусть $d_2$ - наибольший общий делитель чисел $a'_2$ и $a'_3$ ($d_2>0$).
Пусть $d_4$ - наибольший общий делитель чисел $a'_4$ и $a'_3$ ($d_4>0$).

Тогда

1) либо $a'_3=10 (d_2 d_4)^3$, либо $a'_3=-10 (d_2 d_4)^3$.

2) $d_0=2 d_4 d_2$, $a_0$ делится на $d_2$, $a_1$ делится на $2 d_4$.

3) Числа $a'_2$ и $a'_4$ - взаимно-просты.


Доказательство:
---------------------

1)
Пусть $p$ - какой-либо простой делитель числа $a'_3$.
Пусть $p^t$ - наибольшая степень числа $p$, на которую делятся числа $a_2, a_3, a_4$.
Если $p \ne 5$, то $t>0$, в силу утверждений (15.0) и (15.2).

Если $t>0$, то одно из чисел $a_0$ и $a_1$ делится на $p$, а другое нет.
Если $p \ne 2$, то это верно в силу утверждений (15.0) и (15.1).
Если $p=2$, то $a_1$ делится на $p$, а $a_0$ нет.

Если $t=0$, то $p=5$, числа $a_0$ и $a_1$ не делятся на $5$, а число $a'_3$ делится на $5$ и не делится на $25$.

Пусть $p^{k_3}$ - наибольшая степень числа $p$, на которую делится число $a'_3$.

Пусть $a'_{30}$ - произведение степеней $p^{k_3}$ простых делителей $p$ числа $a'_3$, на которые делится $a_0$.
Пусть $a'_{31}$ - произведение степеней $p^{k_3}$ простых делителей $p$ числа $a'_3$, на которые делится $a_1$.

Из утверждений (15.0), (15.1) и (15.2) следует:

Если $a_0 a_1$ делится на $5$, то $a'_3=\pm a'_{30}a'_{31}$.
Если $a_0 a_1$ не делится на $5$, то $a'_3=\pm 5 a'_{30}a'_{31}$.

Если $a'_{30}$ делится на $p$, то $a'_2$ делится на $p$, и $a'_4$ не делится на $p$.
В этом случае $p \ne 2$, наибольшая степень $p$, на которую делится $a'_2$ равна $p^t$, а наибольшая степень $p$, на которую делится $a'_3$ равна $p^{3 t}$ или $p^{3 t+1}$, последнее имеет место, если $p=5$.
Значит, если $a'_{30}$ не делится на $5$, то $a'_{30}=d_2^3$, а если $a'_{30}$ делится на $5$, то $a'_{30}=5 d_2^3$.

Если $a'_{31}$ делится на $p$, то $a'_4$ делится на $p$, и $a'_2$ не делится на $p$.
В этом случае, наибольшая степень $p$, на которую делится $a'_4$ равна $p^t$ или $p^{t-1}$, последнее имеет место, если $p=2$, а наибольшая степень $p$, на которую делится $a'_3$ равна $p^{3 t}$, $p^{3 t+1}$ или $p^{3 t-2}$, второе имеет место, если $p=5$, а последнее - если $p=2$.
Значит, если $a'_{31}$ не делится на $5$, то $a'_{31}=2 d_4^3$, а если $a'_{31}$ делится на $5$, то $a'_{31}=10 d_4^3$.

Значит, если $a_0 a_1$ делится на $5$ (в этом случае $a_{30} a_{31}$ делится на $5$), то $a_{30} a_{31}=10 d_2^3 d_4^3$, а если $a_0 a_1$ не делится на $5$ (в этом случае $a_{30} a_{31}$ не делится на $5$), то $a_{30} a_{31}=2 d_2^3 d_4^3$.

В первом случае $a'_3=\pm a'_{30}a'_{31}=\pm 10 d_2^3 d_4^3$, во втором случае $a'_3=\pm 5 a'_{30}a'_{31}=\pm 10 d_2^3 d_4^3$.
В любом случае $a'_3=\pm 10 d_2^3 d_4^3$.
Что и требовалось.

2)
Пусть $p$ - какой-либо простой делитель числа $d_0$.
Пусть $p^t$ - наибольшая степень числа $p$, на которую делятся числа $a_2, a_3, a_4$.
Тогда $t>0$.

Одно из чисел $a_0$ и $a_1$ делится на $p$, а другое нет.
Если $p \ne 2$, то это верно в силу утверждений (15.0) и (15.1).
Если $p=2$, то $a_1$ делится на $p$, а $a_0$ нет.

Пусть $d_{00}$ - произведение степеней $p^t$ простых делителей $p$ числа $d_0$, на которые делится $a_0$.
Пусть $d_{01}$ - произведение степеней $p^t$ простых делителей $p$ числа $d_0$, на которые делится $a_1$.

Тогда $d_0=d_{00} d_{01}$.

Если $a_0$ делится на $p$, то $a'_2$ делится на $p$, и $a'_4$ не делится на $p$.
В этом случае, $p \ne 2$, наибольшая степень $p$, на которую делится $d_2$ равна $p^t$, и наибольшая степень $p$, на которую делится $d_0$ равна $p^t$.
Значит $d_{00}=d_2$.
Поскольку $a_0$ делится на $p^{3 t}$, то $a_0$ делится на $d_2$.

Если $a_1$ делится на $p$, то $a'_4$ делится на $p$, и $a'_2$ не делится на $p$.
В этом случае, наибольшая степень $p$, на которую делится $d_4$ равна $p^t$ или $p^{t-1}$, последнее имеет место, если $p=2$, и наибольшая степень $p$, на которую делится $d_0$ равна $p^t$.
Значит $d_{01}=2 d_4$.
Поскольку $a_1$ делится на $p^{3 t}$, то $a_1$ делится на $2 d_4$.

Значит, $d_0=d_{00} d_{01}=2 d_4 d_2$.
Что и требовалось.

3)
Предположим обратное, что числа $a'_2$ и $a'_4$ не взаимно-просты.
Пусть $a'_2$ и $a'_4$ делятся на простое число $p$.
Если $a_3$ не делится на $p$, то из третьего равенства (2) следует, что $a_0 a_1$ не делится на $p$, что противоречит второму равенству (2), поскольку из него следует, что $a_0 a_3$ делится на $p$.
Значит $a_3$ делится на $p$.
Следовательно $t>0$ и одно из чисел $a'_2$ и $a'_4$ делится на $p$, а другое нет, в силу утверждений (15.0), (15.1) и (15.2).
Это противоречит тому, что $a'_2$ и $a'_4$ делятся на $p$.
Значит, числа $a'_2$ и $a'_4$ взаимно-просты.