Метод множителей Лагранжа. Теорема.

[Dosaev]

В учебнике Сухарева (и др.) есть теорема про метод множителей Лагранжа для классической задачи условной оптимизации (ограничения типа равенства). Так вот, мне непонятно откуда берется условие 1.14 (см. рис). Никогда с ним не встречался и не применял. Где можно почитать доказательство этого? Либо может кто скажет почему так?

[Oleg Zubelevich]

оттуда же откуда в обычном методе множителей Лагранжа при отыскании условного экстремума функцй многих переменных

[мат-ламер]

Теорема. "Из А следует Б". Вопрос: "Откуда берётся условие А? Никогда с ним не встречался и не применял". Я думаю, что лучший способ разбираться с такими теоремами - посмотреть как они работают на простых примерах.

[Dosaev]

мат-ламер в сообщении #894555 писал(а):

Теорема. "Из А следует Б". Вопрос: "Откуда берётся условие А? Никогда с ним не встречался и не применял". Я думаю, что лучший способ разбираться с такими теоремами - посмотреть как они работают на простых примерах.

На простых примерах я раньше применял критерий Сильвестра. Оказывается это было неправильно. Теперь узнал что-то новенькое. Это следует из формулы Тейлора и условия не вылета из области.
Спасибо мат-ламер, Oleg Zubelevich!

[Otta]

Что - это?
Достаточные условия любого локального экстремума следуют из формулы Тейлора.
Но условие (1.14) возникает в задаче об условном экстремуме и связано с тем, что квадратичная форма второго дифференциала функции Лагранжа рассматривается на касательном пространстве к поверхности ограничений, задаваемом именно этим условием, а не на всем пространстве.

Это вовсе не помеха применению критерия Сильвестра, если очень захочется/возникнет надобность, нужно только отдавать себе отчет, что пространство - другое, размерность пространства - другая, квадратичная форма, вернее ее сужение на это подпространство, тоже будет не та, как казалось.. в общем, надо понимать, что делаешь.

[Dosaev]

Otta,





Источник: Моисеев Н.Н, Ю.П Иванилов, Е. М. Столярова "Методы оптимизации" (1978)

Otta в сообщении #895348 писал(а):

Это вовсе не помеха применению критерия Сильвестра, если очень захочется/возникнет надобность, нужно только отдавать себе отчет, что пространство - другое, размерность пространства - другая, квадратичная форма, вернее ее сужение на это подпространство, тоже будет не та, как казалось.. в общем, надо понимать, что делаешь.

Ну это совсем простые задачи получаются?

[Otta]

Dosaev
Фрагмент этот мне ни о чем не говорит, кроме того, что будучи вырванным из контекста, он смотрится плохо.
Как такие теоремы доказываются, я имею некоторое представление, спасибо Вам за заботу.
Я Вам написала - и то бегло, но кратко - суть происходящего. Вы пытаетесь эту суть искать в инструментарии. Ваше право. :) Но это не лучшее, что следует делать - исключительно на мой взгляд.

Dosaev в сообщении #895359 писал(а):

Ну это совсем простые задачи получаются?

Какие задачи Вы называете непростыми?

[Dosaev]

Otta в сообщении #895366 писал(а):

Я Вам написала - и то бегло, но кратко - суть происходящего.

Ваше геометрическое объяснение ясно, спасибо вам и на этом!

Otta в сообщении #895348 писал(а):

Это вовсе не помеха применению критерия Сильвестра, если очень захочется/возникнет надобность, нужно только отдавать себе отчет, что пространство - другое, размерность пространства - другая, квадратичная форма, вернее ее сужение на это подпространство, тоже будет не та, как казалось..

То есть во всех задачах (учебных) на поиск условного экстремума можно использовать критерий Сильвестра (с осторожностью)?

[Otta]

Dosaev в сообщении #895381 писал(а):

спасибо вам и на этом!

Вдохновляет. Пожалуйста и на том. :)

Dosaev в сообщении #895381 писал(а):

То есть во всех задачах (учебных) на поиск условного экстремума можно использовать критерий Сильвестра (с осторожностью)?

Я бы Вам сказала "да" - и я уже сказала выше, и привела все оговорки и прочее, - но очень опасаюсь, что мое разрешение )) может быть понято слишком буквально. Давайте по-другому - Вы поняли, что тут

Otta в сообщении #895348 писал(а):

нужно только отдавать себе отчет, что пространство - другое, размерность пространства - другая, квадратичная форма, вернее ее сужение на это подпространство, тоже будет не та, как казалось

имелось в виду? Если поняли, значит, можно. А если нет, значит, пока нельзя.

[Dosaev]

Значит пока нельзя.
Сужение квадратичной формы на подпространство - это подстановка дифференциалов из уравнений связи в $d^2L$?

[Otta]

Совершенно верно. Именно эти условия (дифференциалы) задают касательное пространство. Сужение квадратичной формы на него, которое можно получить подстановкой этих условий в форму, оставит ее квадратичной. Но это уже будет квадратичная форма на касательном пространстве, имеющем более низкую размерность, и значит, зависящая от меньшего числа переменных. Размерность пространства $n$, размерность касательного пространства $n-m$. Мы можем из $m$ условий, его задающего, выразить $m$ фиксированных переменных через $n-m$ остальных, подставить в квадратичную форму, получится квадратичная форма, но уже от $n-m$ переменной. И уже для нее смотрите знакоопределенность, как угодно, в том числе и критерием Сильвестра.

Надо только очень тщательно отслеживать размерность, потому что бывает, что в процессе подстановок и сокращений одна (больше) переменная теряется, и ранг квадратичной формы оказывается ниже размерности подпространства, что часто ведет к нежелательным эффектам - например, можно принять за положительно определенную квадратичную форму форму полуопределенную.

Но размерность надо отслеживать при любом способе решения.

[Oleg Zubelevich]

topic53395.html

[Otta]

Oleg Zubelevich
Это необходимое условие, ТС, я так поняла, больше достаточное интересует.
Хотя, конечно, в достаточном необходимое закладывается.
Да, Вы правы. Это вполне может служить ответом, зачем нужно ограничение (1.14), для тех, кто его в Вашей ссылке сможет распознать. :)

[Dosaev]

Otta,
Благодарю за разъяснение! Просто в данной теореме это в несколько ином виде показано (условие 1.14).

(Оффтоп)

Otta в сообщении #895454 писал(а):

для тех, кто его в Вашей ссылке сможет распознать. :)

Я явно не из тех

[Otta]

Dosaev в сообщении #895499 писал(а):

Просто в данной теореме это в несколько ином виде показано (условие 1.14).

Это Вам кажется. Совершенно тот же вид. ))