Вопрос по Шафаревичу

[OlgaD]

Помогите разобраться в следующем примере. Предположим рассматривается вложение $\varphi:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}[i]$ и индуцируемое им отображение спектров колец $\varphi^*:\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[i]\rightarrow\operatorname{Spec}\mathbb{Z}.$ Не совсем понятны следующие фразы

Цитата:

По определению $(\varphi^*)^{-1}(p)$ состоит из простых идеалов кольца $\mathbb{Z}[i],$ делящих $p.$ Как известно, все такие идеалы главные и их два, если $p\equiv 1\;(\hspace{-0.25cm}\mod 4),$ и один, если $p=2$ и $p\equiv 3\;(\hspace{-0.25cm}\mod 4).$

Где об этом можно почитать поподробнее?

[Sonic86]

OlgaD в сообщении #895040 писал(а):

Как известно, все такие идеалы главные и их два, если $p\equiv 1\;(\hspace{-0.25cm}\mod 4),$ и один, если $p=2$ и $p\equiv 3\;(\hspace{-0.25cm}\mod 4).$

Это, скорее всего, какая-то переформулировка того факта, что в $\mathbb{Z}[i]$ все простые $p\equiv 1\pmod 4$ разлагаются в произведение двух простых: $p=\pi\bar\pi$, причем $\pi, \bar\pi$ сопряженны между собой, но не ассоциированны ($5=(2+i)(2-i)$). Простые $p\equiv 3\pmod 4$ неразложимы в $\mathbb{Z}[i]$, а $2=\epsilon (1+i)^2$, где $\epsilon$ - какая-то единица (обратимый элемент) кольца $\mathbb{Z}[i]$.
Почитать об этом можно в
Айрленд Роузен Классическое введение в современную теорию чисел (+ обобщения, книга легче Шафаревича)
Бухштаб (еще проще)
Дирихле Теория чисел
post773884.html#p773884 - тут литературы много еще.

А что такое $\operatorname{Spec}(\mathbb{Z})$? Дадите мне тоже литературы?

[OlgaD]

Большое спасибо за подробный ответ!

Sonic86 в сообщении #895065 писал(а):

А что такое $\operatorname{Spec}(\mathbb{Z})$? Дадите мне тоже литературы?

$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ - спектр кольца целых чисел, т.е. множество всех его простых идеалов. Это центральное понятие в теории схем, поэтому можно посмотреть такие книжки по алгебраической геометрии, как

1. Шафаревич Основания алгебраической геометрии
2. Хартсхорн Алгебраическая геометрия
3. Мамфорд Красная книга о многообразиях и схемах
это книги, которые я знаю...

[OlgaD]

Предположим, что $x\in\operatorname{Spec}A$ - простой идеал коммутативного кольца $A.$ Тогда с $x$ можно связать поле частных $k(x)$ факторкольца по соответствующему простому идеалу. Имеется гомоморфизм $A\rightarrow k(x).$ У меня появилось сомнение в его однозначности.
Я рассуждаю так: пусть $a\in A,$ тогда $\overline{a}=a+x$ - элемент факторкольца $A/x.$ Пусть $S=(A/x)\setminus\{0\}$ - мультипликативная система и $(A/x)_S$ - поле частных кольца $A/x$ по этой системе. Какой элемент соответствует $\overline{a}$ в $k(x)?$ Если $s_1\ne s_2$ - два элемента из системы $S,$ то $\overline{a}/s_1\ne\overline{a}/s_2.$ Либо я не правильно поняла как определяется гомоморфизм $A\rightarrow k(x).$ Помогите, разобраться.

[OlgaD]

настораживают слова "по соответствующему простому идеалу"

[Xaositect]

OlgaD в сообщении #897035 писал(а):

Какой элемент соответствует $\overline{a}$ в $k(x)?$

$\bar{a}/1$

[OlgaD]

То есть гомоморфизм $A\rightarrow k(x)$ - это суперпозиция канонического отображения $A\rightarrow A/x$ и вложения $A/x\rightarrow k(x)?$ А меня понесло в дебри. Теперь все встало на место. Большое спасибо!

[OlgaD]

Хочется уточнить: размерность Крулля кольца $R$ совпадает с размерностью $\operatorname{Spec}R$ только если последняя конечна или всегда?

[Deggial]

OlgaD, новые вопросы оформляйте в виде отдельных тем.