2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Вопрос по Шафаревичу
Сообщение10.08.2014, 18:35 
Помогите разобраться в следующем примере. Предположим рассматривается вложение $\varphi:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}[i]$ и индуцируемое им отображение спектров колец $\varphi^*:\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[i]\rightarrow\operatorname{Spec}\mathbb{Z}.$ Не совсем понятны следующие фразы
Цитата:
По определению $(\varphi^*)^{-1}(p)$ состоит из простых идеалов кольца $\mathbb{Z}[i],$ делящих $p.$ Как известно, все такие идеалы главные и их два, если $p\equiv 1\;(\hspace{-0.25cm}\mod 4),$ и один, если $p=2$ и $p\equiv 3\;(\hspace{-0.25cm}\mod 4).$
Где об этом можно почитать поподробнее?

 
 
 
 Re: Вопрос по Шафаревичу
Сообщение10.08.2014, 19:29 
OlgaD в сообщении #895040 писал(а):
Как известно, все такие идеалы главные и их два, если $p\equiv 1\;(\hspace{-0.25cm}\mod 4),$ и один, если $p=2$ и $p\equiv 3\;(\hspace{-0.25cm}\mod 4).$
Это, скорее всего, какая-то переформулировка того факта, что в $\mathbb{Z}[i]$ все простые $p\equiv 1\pmod 4$ разлагаются в произведение двух простых: $p=\pi\bar\pi$, причем $\pi, \bar\pi$ сопряженны между собой, но не ассоциированны ($5=(2+i)(2-i)$). Простые $p\equiv 3\pmod 4$ неразложимы в $\mathbb{Z}[i]$, а $2=\epsilon (1+i)^2$, где $\epsilon$ - какая-то единица (обратимый элемент) кольца $\mathbb{Z}[i]$.
Почитать об этом можно в
Айрленд Роузен Классическое введение в современную теорию чисел (+ обобщения, книга легче Шафаревича)
Бухштаб (еще проще)
Дирихле Теория чисел
post773884.html#p773884 - тут литературы много еще.

А что такое $\operatorname{Spec}(\mathbb{Z})$? Дадите мне тоже литературы? :oops:

 
 
 
 Re: Вопрос по Шафаревичу
Сообщение10.08.2014, 19:48 
Большое спасибо за подробный ответ!
Sonic86 в сообщении #895065 писал(а):
А что такое $\operatorname{Spec}(\mathbb{Z})$? Дадите мне тоже литературы? :oops:

$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ - спектр кольца целых чисел, т.е. множество всех его простых идеалов. Это центральное понятие в теории схем, поэтому можно посмотреть такие книжки по алгебраической геометрии, как

1. Шафаревич Основания алгебраической геометрии
2. Хартсхорн Алгебраическая геометрия
3. Мамфорд Красная книга о многообразиях и схемах
это книги, которые я знаю...

 
 
 
 Re: Вопрос по Шафаревичу
Сообщение18.08.2014, 10:10 
Предположим, что $x\in\operatorname{Spec}A$ - простой идеал коммутативного кольца $A.$ Тогда с $x$ можно связать поле частных $k(x)$ факторкольца по соответствующему простому идеалу. Имеется гомоморфизм $A\rightarrow k(x).$ У меня появилось сомнение в его однозначности.
Я рассуждаю так: пусть $a\in A,$ тогда $\overline{a}=a+x$ - элемент факторкольца $A/x.$ Пусть $S=(A/x)\setminus\{0\}$ - мультипликативная система и $(A/x)_S$ - поле частных кольца $A/x$ по этой системе. Какой элемент соответствует $\overline{a}$ в $k(x)?$ Если $s_1\ne s_2$ - два элемента из системы $S,$ то $\overline{a}/s_1\ne\overline{a}/s_2.$ Либо я не правильно поняла как определяется гомоморфизм $A\rightarrow k(x).$ Помогите, разобраться.

 
 
 
 Re: Вопрос по Шафаревичу
Сообщение18.08.2014, 11:35 
настораживают слова "по соответствующему простому идеалу"

 
 
 
 Re: Вопрос по Шафаревичу
Сообщение18.08.2014, 12:40 
Аватара пользователя
OlgaD в сообщении #897035 писал(а):
Какой элемент соответствует $\overline{a}$ в $k(x)?$
$\bar{a}/1$

 
 
 
 Re: Вопрос по Шафаревичу
Сообщение18.08.2014, 12:48 
То есть гомоморфизм $A\rightarrow k(x)$ - это суперпозиция канонического отображения $A\rightarrow A/x$ и вложения $A/x\rightarrow k(x)?$ А меня понесло в дебри. Теперь все встало на место. Большое спасибо! :-)

 
 
 
 Re: Вопрос по Шафаревичу
Сообщение20.08.2014, 11:08 
Хочется уточнить: размерность Крулля кольца $R$ совпадает с размерностью $\operatorname{Spec}R$ только если последняя конечна или всегда?

 
 
 
 Re: Вопрос по Шафаревичу
Сообщение20.08.2014, 11:24 
Аватара пользователя
 i  OlgaD, новые вопросы оформляйте в виде отдельных тем.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group