2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вопрос по Шафаревичу
Сообщение10.08.2014, 18:35 


06/12/13
274
Помогите разобраться в следующем примере. Предположим рассматривается вложение $\varphi:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}[i]$ и индуцируемое им отображение спектров колец $\varphi^*:\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[i]\rightarrow\operatorname{Spec}\mathbb{Z}.$ Не совсем понятны следующие фразы
Цитата:
По определению $(\varphi^*)^{-1}(p)$ состоит из простых идеалов кольца $\mathbb{Z}[i],$ делящих $p.$ Как известно, все такие идеалы главные и их два, если $p\equiv 1\;(\hspace{-0.25cm}\mod 4),$ и один, если $p=2$ и $p\equiv 3\;(\hspace{-0.25cm}\mod 4).$
Где об этом можно почитать поподробнее?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по Шафаревичу
Сообщение10.08.2014, 19:29 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
OlgaD в сообщении #895040 писал(а):
Как известно, все такие идеалы главные и их два, если $p\equiv 1\;(\hspace{-0.25cm}\mod 4),$ и один, если $p=2$ и $p\equiv 3\;(\hspace{-0.25cm}\mod 4).$
Это, скорее всего, какая-то переформулировка того факта, что в $\mathbb{Z}[i]$ все простые $p\equiv 1\pmod 4$ разлагаются в произведение двух простых: $p=\pi\bar\pi$, причем $\pi, \bar\pi$ сопряженны между собой, но не ассоциированны ($5=(2+i)(2-i)$). Простые $p\equiv 3\pmod 4$ неразложимы в $\mathbb{Z}[i]$, а $2=\epsilon (1+i)^2$, где $\epsilon$ - какая-то единица (обратимый элемент) кольца $\mathbb{Z}[i]$.
Почитать об этом можно в
Айрленд Роузен Классическое введение в современную теорию чисел (+ обобщения, книга легче Шафаревича)
Бухштаб (еще проще)
Дирихле Теория чисел
post773884.html#p773884 - тут литературы много еще.

А что такое $\operatorname{Spec}(\mathbb{Z})$? Дадите мне тоже литературы? :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по Шафаревичу
Сообщение10.08.2014, 19:48 


06/12/13
274
Большое спасибо за подробный ответ!
Sonic86 в сообщении #895065 писал(а):
А что такое $\operatorname{Spec}(\mathbb{Z})$? Дадите мне тоже литературы? :oops:

$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ - спектр кольца целых чисел, т.е. множество всех его простых идеалов. Это центральное понятие в теории схем, поэтому можно посмотреть такие книжки по алгебраической геометрии, как

1. Шафаревич Основания алгебраической геометрии
2. Хартсхорн Алгебраическая геометрия
3. Мамфорд Красная книга о многообразиях и схемах
это книги, которые я знаю...

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по Шафаревичу
Сообщение18.08.2014, 10:10 


06/12/13
274
Предположим, что $x\in\operatorname{Spec}A$ - простой идеал коммутативного кольца $A.$ Тогда с $x$ можно связать поле частных $k(x)$ факторкольца по соответствующему простому идеалу. Имеется гомоморфизм $A\rightarrow k(x).$ У меня появилось сомнение в его однозначности.
Я рассуждаю так: пусть $a\in A,$ тогда $\overline{a}=a+x$ - элемент факторкольца $A/x.$ Пусть $S=(A/x)\setminus\{0\}$ - мультипликативная система и $(A/x)_S$ - поле частных кольца $A/x$ по этой системе. Какой элемент соответствует $\overline{a}$ в $k(x)?$ Если $s_1\ne s_2$ - два элемента из системы $S,$ то $\overline{a}/s_1\ne\overline{a}/s_2.$ Либо я не правильно поняла как определяется гомоморфизм $A\rightarrow k(x).$ Помогите, разобраться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по Шафаревичу
Сообщение18.08.2014, 11:35 


06/12/13
274
настораживают слова "по соответствующему простому идеалу"

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по Шафаревичу
Сообщение18.08.2014, 12:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
OlgaD в сообщении #897035 писал(а):
Какой элемент соответствует $\overline{a}$ в $k(x)?$
$\bar{a}/1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по Шафаревичу
Сообщение18.08.2014, 12:48 


06/12/13
274
То есть гомоморфизм $A\rightarrow k(x)$ - это суперпозиция канонического отображения $A\rightarrow A/x$ и вложения $A/x\rightarrow k(x)?$ А меня понесло в дебри. Теперь все встало на место. Большое спасибо! :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по Шафаревичу
Сообщение20.08.2014, 11:08 


06/12/13
274
Хочется уточнить: размерность Крулля кольца $R$ совпадает с размерностью $\operatorname{Spec}R$ только если последняя конечна или всегда?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по Шафаревичу
Сообщение20.08.2014, 11:24 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  OlgaD, новые вопросы оформляйте в виде отдельных тем.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group