Рассеяние частиц

[tech]

Здравствуйте. Прочитал (много раз) §18 ЛЛ-1 и соответствующий параграф у Медведева Б.В. Соответственно, мильон вопросов.

1. "Как же избавиться от прицельного расстояния – ведь измерить его в опытах с микрочастицами невозможно?..". Почему невозможно?

"...Физики прибегают для этого к чрезвычайно остроумному приёму... от рассмотрения задачи с точно заданным прицельным расстоянием переходят к рассмотрению задач, в которых прицельные расстояния распределены по некоторому заданному закону". Как этот переход упрощает задачу? И на этом моменте я вообще запутался, а какая собственно задача, ведь зависимость угла рассеяния от прицельного расстояния $\chi(\varrho)$ можно найти, а что ещё нужно?
Здесь же появляется такая штука как эффективное сечение $d\sigma$. Какова польза её?

2. "Возвращаясь к фактической задаче о рассеянии пучка частиц не на неподвижном силовом центре, а на других первоначально покоившихся частицах, мы можем сказать, что формула
$d\sigma=2\pi\varrho(\chi)|\frac{d\varrho(\chi)}{d\chi}|d\chi$
определяет эффективное сечение в зависимости от угла рассеяния в системе центра инерции".

Почему мы можем так сказать?
Совершенно не понимаю этого перехода. Рассматривали рассеяние частиц на неподвижном силовом центре, а тут внезапно какой-то центр инерции всплыл. Не могу уловить связь задачи с неподвижным силовым центром, разобранной в этом параграфе, и задачи с упругим столкновением двух частиц из предыдущего.

3. Вопрос по поводу первой задачи после §18 (напрямую связанный со вторым вопросом). Неподвижный силовой центр, находим эффективное сечение. И тут пишут: "т.е. в ц-системе рассеяние изотропно". Опять внезапно всплывает ц-система. Чья эта ц-система? (Ну, то есть у разных совокупностей тел разные ц-системы. О ц-системе какой совокупности тел идёт речь?)

[warlock66613]

tech в сообщении #893916 писал(а):

Почему невозможно?

А как вы себе это представляете?
Вы думаете, в ускорителях разгоняют за раз пару частиц и потом их так точно сводят, что они непременно столкнутся "лоб в лоб"? Нет, там большой пучок частиц (ну, скажем, протонов) известной плотности сталкивается (например) с таким же встречным пучком.
Или можно вспомнить исторические опыты Резерфорда. Вы думаете, он сначала выбирал прицельное расстояние (поближе к ядру $\alpha$-частицу запулить или подальше), а потом смотрел, куда "снаряд" отскочит? Там же ангстрем влево, ангстрем вправо - промах. Нет конечно. Опять же брался пучок частиц с одной стороны и пластина с кучей атомов с другой, и там уже куда что попадёт.

-- 09.08.2014, 01:05 --

tech в сообщении #893916 писал(а):

ведь зависимость угла рассеяния от прицельного расстояния $\chi(\varrho)$ можно найти

Экспериментально? Нельзя, в том-то и дело.

[Munin]

По поводу ц-системы: в ЛЛ-1 надо постоянно заглядывать в §§ 13, 14, 15, где вводится понятие задачи двух тел, и переход от движения двух тел до движения одной частицы в центральном поле.

Уточню, что в реальных задачах квантовой механики поле часто бывает нецентральным, но задача рассеяния всё равно ставится. Например, пусть обе частицы - маленькие магнитные диполи. Тогда силы между ними зависят не только от расстояния, но и от направления радиус-вектора, и от относительной ориентации дипольных моментов по отношению к нему. (См. https://en.wikipedia.org/wiki/Magnetic_dipole-dipole_interaction .) Считается, что частицы во время рассеяния сами не поворачиваются, а только движутся, и поэтому при заданных дипольных моментах получается некоторое поле нецентральных потенциальных сил. В реальных экспериментах либо частицы в пучке неориентированы - тогда реальное рассеяние усредняется по всевозможным ориентациям, - либо предварительно ориентированы (поляризованы) - тогда можно наблюдать дифференциальное сечение, зависящее не только от угла рассеяния, но и от угла плоскости рассеяния.

[warlock66613]

tech в сообщении #893916 писал(а):

Здесь же появляется такая штука как эффективное сечение $d\sigma$. Какова польза её?

Это условный размер мишени - он определяет насколько точно нужно прицеливаться, чтобы "снаряд" отскочил в заданный угол. Например, Резерфорд обнаружил, что эффективное сечение для оскока назад (на большие углы) очень мало - значит ядро имеет весьма малый диаметр, причём зная сечение можно оценить количественно насколько диаметр мал.
Ценность этого параметра в его ясном феноменологическом смысле, доступности для экспериментального определения и большом количестве информации, которое можно получить, зная дифференциальное сечение.

[Munin]

tech в сообщении #893916 писал(а):

Здесь же появляется такая штука как эффективное сечение $d\sigma$. Какова польза её?

Её измеряют в экспериментах (накапливая статистику по актам рассеяния), и из её величины (особенно из угловой зависимости) восстанавливают закон действия сил. Иногда эта задача однозначна (иногда нет).

Вот есть две частицы, и некие силы между ними. Как их измерить? Если частицы крупные, макроскопические, то всё просто: мы зажимаем одну частицу на штативе, подносим другую частицу на палочке, и измеряем силу динамометром. А если частицы настолько мелкие, что сами штативы и палочки состоят из более крупных частиц? Например, если у нас два электрона - как их зажать и подносить? Штатив-то состоит из атомов, а атом гораздо крупнее электрона, в нём много электронов. Вместо этого используется другой способ: бросить одну частицу в другую. Она как-то отлетит. Мы не можем бросить электрон точнее, чем до размера атома. Поэтому надо делать много опытов. Чаще всего, электроны будут пролетать далеко друг от друга (на расстоянии размера атома, или больше). Но иногда - близко. И вот тогда-то они и "прощупают" силы взаимодействия между собой на малых расстояниях. И эксперимент построен на накоплении большой статистики: неинтересные события, когда электроны не столкнулись, пойдут в мусор, зато интересные, когда они столкнулись, дадут нам некоторую вероятность, насколько часто происходит отклонение на заданный угол. Эта вероятность и имеет размерность дифференциального сечения. Поэтому её очень важно уметь теоретически вычислять, чтобы сравнивать с экспериментом.

-- 09.08.2014 01:49:34 --

Проще всего понять идеологию сечений на столкновении двух твёрдых шариков. Глядя на шарик "в лоб", мы видим его поперечное сечение - это площадь, в которую надо попасть, чтобы вообще произошло столкновение. (Точнее, для двух шариков, это будет круг радиуса $r_1+r_2.$) Этот круг $\sigma$ можно "раскрасить" углами отклонения. В середине будет отклонение на $\pi$ - налетающий шарик отлетит строго назад. Поближе к краю будут углы поменьше, где-то посередине - $\pi/2$ - то есть, шарик отлетит ровно вбок (тут надо уточнить, в системе мишени, в л-системе или в ц-системе - это могут быть три разные с. о.). И наконец, совсем на краю углы отклонения дойдут до $0.$ Если взять диапазон углов от $\chi$ до $\chi+d\chi,$ то он выделит на этом круге "полоску" некоторой дифференциальной площади $d\sigma.$ То есть, дифференциальное сечение рассеяния задаёт функцию вероятностей отклонения на разные углы - если отклонение вообще произошло, за что отвечает полное сечение $\sigma.$ Для двух шариков (в системе неподвижного центра) $d\sigma=\mathrm{const}.$ Для других сил зависимость будет иная.

[tech]

Наверно, я начал понимать. В таком случае приведу свои рассуждения в надежде, что кто-нибудь проверит их на правильность.
Задача: определить эффективное сечение рассеяния частиц от абсолютно твёрдого шарика радиуса $a$.
Шаг 1. Что вообще это значит?
Летят друг другу навстречу две частицы, закон взаимодействия между которыми $U=\infty,\ r=a;\ U=0,\ r>a$. Мы наблюдаем за процессом из л-системы.
Причём насколько я понимаю, в подобных задачах частицы (поначалу) обычно движутся строго навстречу друг другу, а не как-нибудь там; причём начальные условия задаются на асимптотике (первая, вторая, либо обе частицы летят из бесконечности).
И грубо говоря, от меня требуется найти вероятность того, что налетающая частица в результате отлетит под некоторым конкретным углом.
Шаг 2.
От задачи двух тел мы переходим к задаче движения вымышленной материальной точки в центральном поле. Причём для этой материальной точки мы также будем знать скорость на бесконечности и прицельное расстояние.
Находим для этой частицы $d\sigma$ (почти что вероятность отклонения на заданный угол).
Шаг 3.
Вспоминаем, что траектория движения вымышленной частицы подобна траекториям движения настоящих частиц в системе центра инерции. То есть если вымышленная частицы отклонилась на угол $\chi$, то на такие же углы в СЦИ отклонились и настоящие частицы.
И вот в этом-то и заключается связь задачи двух тел и задачи движения частицы в поле с неподвижным источником.
Шаг 4.
Зная связь углов отклонения в ц- и л-системах, пересчитываем эффективное сечение в л-системе.

Прошу обратить особое внимание на шаг 3. Верно ли это? Прочитав параграфы, я связь этих двух задач не уловил совершенно, а если моя логическая цепочка верна, значит, уже въехал.

[Munin]

tech в сообщении #894662 писал(а):

Причём насколько я понимаю, в подобных задачах частицы (поначалу) обычно движутся строго навстречу друг другу, а не как-нибудь там; причём начальные условия задаются на асимптотике (первая, вторая, либо обе частицы летят из бесконечности).

Да. Всё правильно.
Правда, в реальных ускорителях на встречных пучках (коллайдерах), обычно угол между пучками мал, но не нулевой (иначе частицы начинали бы двигаться по каналу встречного пучка). Но это делается банальным пересчётом системы отсчёта. В ускорителях на неподвижной мишени, скорости мишени 0, и падающая частица откуда ни лети, будет лететь "строго навстречу" :-)

Полёт из бесконечности - реалистичное условие, с учётом того, что система ускорителя (разгоняющие, отклоняющие и фокусирующие поля) находится на макроскопических расстояниях - метры, а взаимодействия частиц велики на микроскопических расстояниях - ангстремы, ферми и т. п. Даже если взаимодействие степенное, то за десять порядков оно уходит в пренебрежимо малую величину. А у многих взаимодействий экспоненциальное спадание.

tech в сообщении #894662 писал(а):

Прошу обратить особое внимание на шаг 3. Верно ли это?

Всё правильно, и шаг 3 в том числе верен. Подобие устанавливается в ЛЛ-1 § 13, где переходят к задаче с приведённой массой, формулы (13.2). Это буквально геометрическое подобие, с явно выписанным коэффициентом.